Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Số hạng tổng quát là:

\(C^k_{13}\cdot\left(2x\right)^{13-k}\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)^k\)

Số hạng chứa x^6 sẽ tươg ứng với 13-k=6

=>k=7

=>Số hạng cần tìm là \(C^7_{13}\cdot\left(2x\right)^6\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)^7\)

Số hạng tổng quát là \(C^k_{17}\cdot\left(2x\right)^{17-k}\cdot\left(-3y\right)^k\)

Số hạng thứ 15 sẽ tương ứng với k=14

=>Số hạng thứ 15 là \(C^{14}_{17}\cdot\left(2k\right)^3\cdot\left(-3y\right)^{14}\)

\(\left[1+x^2\left(1-x\right)\right]^8\)

\(=\left(1+x^2-x^3\right)^8\)

\(=\sum_{k=1}^8C_8^k\left(x^2-x^3\right)^k.1^{\left(8-k\right)}\) ($k \leq 8$)

\(=\sum_{k=1}^8C_8^k\sum_{i=1}^kC^i_kx^{2i}.x^{3k-3i}\left(-1\right)^{k-i}\) ($i \leq k$)

\(=\sum_{k=1}^8C_8^k\sum_{i=1}^kC^i_kx^{3k-i}.\left(-1\right)^{k-i}\)

\(=\sum_{k=1}^8\sum_{i=1}^kC_8^kC^i_k\left(-1\right)^{k-i}x^{3k-i}\)

Hệ số của $x^{3k-i}$ là \(C_8^kC^i_k\left(-1\right)^{k-i}\).

Tìm $k;i$ thoả mãn $i \leq k \leq 8$, và $3k-i=8$.

Vậy hệ số của $x^8$ $=$ \(C_8^4C^4_4\left(-1\right)^{4-4}+C_8^3C^1_3\left(-1\right)^{3-1}\) $=238$.

Lời giải:
Theo nhị thức Newton:

\((2x^2-\frac{1}{x})^8=\sum \limits_{k=0}^8C^k_8(2x^2)^k(x^{-1})^{8-k}=\sum \limits_{k=0}^8C^k_82^kx^{3k-8}\)

Hệ số không chứa $x$ là $C^k_8.2^k$ sao cho $3k-8=0\Leftrightarrow k=\frac{8}{3}$ (loại vì $k$ nguyên)

Vậy hệ số tự do (hệ số không chứa x trong khai triển) là $0$

\(A^3_n-2\cdot C^2_n=4C^3_{n+1}\)(ĐK: n>=3)

=>\(\dfrac{n!}{\left(n-3\right)!}-2\cdot\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!\cdot1}=4\cdot\dfrac{\left(n+1\right)!}{\left(n-2\right)!\cdot3!}\)

=>\(n\left(n-1\right)\left(n-2\right)-n\left(n-1\right)=4\cdot\dfrac{\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)}{6}\)

=>n(n-1)(n-3)=2/3(n-1)*n*(n+1)

=>n(n-1)(n-3-2/3n-2/3)=0

=>1/3n-11/3=0

=>n=11

=>(x^2-2/x)^11

SHTQ là: \(C^k_{11}\cdot\left(x^2\right)^{11-k}\cdot\left(-\dfrac{2}{x}\right)^k=C^k_{11}\cdot\left(-2\right)^k\cdot x^{22-3k}\)

SHTƯ với x^7 sẽ tương ứng vơi 22-3k=7

=>k=5

=>Hệ số là \(C^5_{11}\cdot\left(-2\right)^5\)

a: (2x^3+3)^6

\(=C^0_6\cdot\left(2x^3\right)^6\cdot3^0+C^1_6\cdot\left(2x^3\right)^5\cdot3^1+...+C^6_6\cdot3^6\)

=

b: (3x^2+2x)^7

\(=C^0_7\cdot\left(3x^2\right)^7+C^1_7\cdot\left(3x^2\right)^6\cdot2x+...+C^7_7\cdot\left(2x\right)^7\)

=

`(1-x/2)^4=C^0 _4.1^4-C^1 _4 .1^3 . x/2+C^2 _4 . 1^2 .(x/2)^2-C^3 _4 .1^1 .(x/2)^3+C^4 _4 (x/2)^4`

           `=1-2x+3/2x^2-1/2x^3+1/16 x^4`

a: \(=C^0_5\cdot\left(2x\right)^5+C^1_5\cdot\left(2x\right)^4\cdot\left(3y\right)^1+C^2_5\cdot\left(2x\right)^3\cdot\left(3y\right)^2+C^3_5\cdot\left(2x\right)^2\cdot\left(3y\right)^3+C^4_5\cdot2x\cdot\left(3y\right)^4+C^5_5\cdot\left(3y\right)^5\)

\(=32x^5+240x^4y+720x^3y^2+1080x^2y^3+810xy^4+243y^5\)

b: \(=C^0_6\cdot1^6\cdot\left(-\dfrac{2}{x}\right)^0+C^1_6\cdot\left(-\dfrac{2}{x}\right)^1+C^2_6\cdot\left(-\dfrac{2}{x}\right)^2+C^3_6\cdot\left(-\dfrac{2}{x}\right)^3+C^4_6\cdot\left(-\dfrac{2}{x}\right)^4+C^5_6\cdot\left(-\dfrac{2}{x}\right)^5+C^6_6\cdot\left(-\dfrac{2}{x}\right)^6\)

\(=1-\dfrac{12}{x}+\dfrac{60}{x^2}-\dfrac{160}{x^3}+\dfrac{240}{x^4}-\dfrac{192}{x^5}+\dfrac{64}{x^6}\)