Bài 1: Quy tắc đếm

1. Quy tắc cộng

Ví dụ 1: Trong một hộp chứa sáu quả cầu màu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu màu đen được đánh số là 7, 8, 9. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?

Giải:

Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn.

Nếu chọn quả trắng thì có 6 cách chọn.

Nếu chọn quả đen thì có 3 cách chọn.

Do đó, số cách chọn một trong các quả cầu là: 6 + 3 = 9 (cách).

Quy tắc cộng: 

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất cứ cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

Quy tắc cộng ở trên thực chất là qui tắc đếm số phần từ của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau:

Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì:

                 \(m\left(A\cup B\right)=m\left(A\right)+m\left(B\right)\).

Chú ý: Quy tắc có thể mở rộng cho nhiều hành động (hoặc tập hợp).

Ví dụ 2: Có bao nhiêu hình vuông trong hình sau:

Giải:

Nhìn vào hình vẽ ta thấy có hai loại hình vuông: hình vuông cạnh 1cm (gọi là tập hợp \(A\)) và hình vuông cạnh 2cm (gọi là tập hợp \(B\)) 

Nhận thấy hai loại này không giao nhau nên tập hợp các hình vuông trong hình vẽ trên là \(A\cup B\).

Ta có: \(n\left(A\right)=10\) , \(n\left(B\right)=4\)

Nên \(n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)=10+4=14\)

Vậy có tất cả 14 hình vuông.

2. Quy tắc nhân

Quy tắc nhân:

Một công việc phải được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp nhau. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó lại có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

Chú ý: Quy tắc nhân có cho nhiều hành động liên tiếp.

Ví dụ 1: Bạn Hoàng có hai áo màu khác nhau và ba quần kiểu khác nhau. Hỏi Hoàng có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?

Giải:

Để chọn được 1 bộ quần áo thì phải thực hiện 2 hành động liên tiếp là chọn áo và chọn quần.

    Chọn áo : có 2 cách chọn

    Chọn quần: với mỗi áo thì lại có 3 cách chọn quần.

Vậy số cách chọn ra một bộ quần áo là: 2 x 3 = 6 (cách).

Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 2 chữ số khác nhau?

Giải:

Gọi số có hai chữ số cần lập là \(\overline{xy}\) (\(x\ne y\))

  Chọn \(x\) : Có 4 cách chọn (một trong bốn số 1, 2, 3, 4)

  Chọn \(y\): với mỗi \(x\) có 3 cách chọn \(y\) (là ba trong bốn chữ số còn lại)

Vậy theo quy tắc nhân ta có: \(4.3=12\) (cách lập) tương ứng với 12 số tự nhiên gồm 2 chữ số khác nhau.

Ví dụ 3:  a) Có bao nhiêu số điện thoại gồm 9 chữ số bất kì?

               b) Nếu có 100 triệu người dùng điện thoại, mỗi người sở hữu một số thì số điện thoại cần phải bao nhiêu chữ số?

Giải:

a) Một số điện thoại có 9 chữ số (tức 9 vị trí) thì:

- Có thể chọn 10 chữ số cho vị trí thứ nhất (chọn trong các chữ số: 0; 1 ; ...; 9) ;

- Với mỗi cách chọn ở vị trí thứ nhất thì có 10 cách chọn cho vị trí thứ hai ;

...

- Cuối cùng, với mỗi cách chọn 8 vị trí đầu, lại có 10 cách cho chọn vị trí thứ chín.

Vậy số cách chọn là: 10.10...10 = 10⁹ cách chọn hay tương ứng với 1.000.000.000 số (1 tỉ số).

b) Với 100 triệu người và mỗi người sở hữu 1 số điện thoại thì có 100.000.000 triệu số.

Để có 100.000.000 số (10⁸ số) thì số điện thoại phải có ít nhất 8 chữ số.