Bài 4: Phép thử và biến cố

I. PHÉP THỬ. KHÔNG GIAN MẪU

1. Phép thử

Một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tượng nào đó, ... được hiểu là phép thử.

Chẳng hạn, gieo một đồng tiền kim loại (gọi tắt là đồng tiền), rút một quân bài từ cỗ bài tú lơ khơ (cỗ bài 52 lá), bắn một viên đạn vào bia, ... là những ví dụ về phép thử.

Khi gieo một đồng tiền, ta không thể đoán trước được mặt khi số (mặt ngửa, viết tắt là N) hay mặt kia (mặt sấp, viết tắt là S) sẽ xuất hiện. Đó là một ví dụ về phép thử ngẫu nhiên.

Định nghĩa:

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

2. Không gian mẫu

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là \(\Omega\) (đọc là ô-mê-ga).

Ví dụ 1: Gieo một đồng tiền. Đó là một phép thử có không gian mẫu là \(\Omega=\left\{N,S\right\}\).

Ví dụ 2: Phép thử Gieo một đồng tiền hai lần thì không gian mẫu gồm 4 phần tử: \(\Omega=\left\{NN,SN,NS,SS\right\}\), chẳng hạn \(SN\) là kết quả "Lần đầu đồng tiền xuất hiện mặt sấp, lần hai đồng tiền xuất hiện mặt ngửa",...

Ví dụ 3: Phép thử Gieo một con súc sắc hai lần thì không gian mẫu gồm 36 phần tử: \(\Omega=\left\{\left(i;j\right)|i,j=1,2,3,4,5,6\right\}\), ở đó \(\left(i;j\right)\) là kết quả "Lần đầu xuất hiện mặt \(i\) chấm, lần hai xuất hiện mặt \(j\) chấm".

II. BIẾN CỐ

Ví dụ 4: Gieo một đồng tiền hai lần. Đây là phép thử với không gian mẫu \(\Omega=\left\{NN,SN,NS,SS\right\}\).

Sự kiện \(A\): "Kết quả của hai lần gieo là như nhau", ta viết \(A=\left\{NN,SS\right\}\). 

Sự kiện \(B\): "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa", ta viết \(B=\left\{SN,NS,NN\right\}\)

Sự kiện \(C\): "Mặt sấp xuất hiện trong lần gieo đầu tiên", ta viết \(C=\left\{SN,SS\right\}\)

Ta gọi \(A,B,C\) là các biến cố.

Định nghĩa:

Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

Khi nói cho các biến cố \(A,B,...\) mà không nói gì thêm thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến một phép thử.

Tập \(\varnothing\) được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập \(\Omega\) được gọi là biến cố chắc chắn.

Chẳng hạn, khi gieo một con súc sắc, biến cố "Xuất hiện mặt 7 chấm" là một biến cố không, còn biến cố "Xuất hiện mặt có số chấm không vượt quá 6" là biến cố chắc chắn.

Ta nói rằng biến cố \(A\) xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi  kết quả của phép thử đó là một phần tử của \(A\) (hay thuận lợi cho \(A\)).

III. PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ

- Giả sử \(A\) là biến cố liên quan đến một phép thử.

Tập \(\Omega\)\\(A\) được gọi là biến cố đối của biến cố \(A\), kí hiệu là \(\overline{A}\).

Do \(\omega\in\overline{A}\Leftrightarrow\omega\notin A\)  nên \(\overline{A}\) xảy ra khi và chỉ khi \(A\) không xảy ra.

- Giả sử \(A\) và \(B\) là hai biến cố liên quan đến một phép thử. ta có định nghĩa sau:

Tập \(A\cup B\) được gọi là hợp của biến cố ​\(A\) và \(B\).

Tập ​\(A\cap B\) được gọi là giao của biến cố ​\(A\) và \(B\), còn được viết là \(A.B\).

Nếu \(A\cap B=\varnothing\) thì ta nói \(A\) và \(B\) xung khắc.

Biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào đồng thời xảy ra.

Ví dụ 5: Xét phép thử "Gieo một đồng tiền hai lần" với các biến cố:

      \(A\): "Kết quả của hai lần gieo là như nhau"

      \(B\): "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp"

      \(C\): "Lần thứ hai mới xuất hiện mặt sấp"

      \(D\): "Lần đầu xuất hiện mặt sấp"

Ta có: \(A=\left\{NN,SS\right\}\) ; \(B=\left\{SN,NS,SS\right\}\) ; \(C=\left\{NS\right\}\) ; \(D=\left\{SN,SS\right\}\)

Từ đó: \(C\cup D=\left\{SS,SN,NS\right\}=B\)

           \(A\cap D=\left\{SS\right\}\) là biến cố "Cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp".