Bài 3: Lôgarit

ta có : \(\log_ab=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a^{\dfrac{3}{2}}=b\Leftrightarrow\left(c+9\right)^{\dfrac{3}{2}}=b\)

ta có : \(\log_cd=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow c^{\dfrac{5}{4}}=d\)

\(\Rightarrow b-d=\left(c+9\right)^{\dfrac{3}{2}}-c^{\dfrac{5}{4}}\)

bài này dễ ***** bạn ơi

đàu tiên log a_b = 3/2 => log b_a = 2/3 => a= b^(2/3) =(\(\sqrt[3]{b}\))^2 nguyên dương

tương tự log c-d = 5/4 => log d_c = 4/5 => c= d^(4/5) =(\(\sqrt[5]{d}\))^4 nguyên dương .

<=> a-c = (\(\sqrt[3]{b}\))^2 - (\(\sqrt[5]{d}\))^4 = 9 <=> (\(\sqrt[3]{b}\) - (\(\sqrt[5]{d}\))^2 )( \(\sqrt[3]{b}\) + (\(\sqrt[5]{d}\))^2 ) = 9

do a,c nguyên dương nên 2 số trên nguyên dương và khác nhau, số bên phải ( nhác ghi lại ) lớn hơn vì có dấu cộng...

suy ra nghiệm là 1 và 9. suy ra \(\sqrt[3]{b}\) = 5 và (\(\sqrt[5]{d}\))^2 = 4

đến đây dệ ***** => b-d = 93

Lời giải:

Đặt \(\log_2x=t\Rightarrow x=2^t\).

Để \(x\in (0;1)\Leftrightarrow 0< 2^t< 1\Leftrightarrow t< 0\)

PT trở thành:

\(t^2+t+m=0\) và ta cần tìm m để pt có nghiệm âm

Điều kiện để pt có nghiệm: \(\Delta=1-4m\geq 0\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{4}\) (1)

Áp dụng hệ thức Viete, để PT có nghiệm âm thì:

\(\left\{\begin{matrix} t_1+t_2< 0\\ t_1t_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -1< 0\\ m> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m> 0\) (2)

Từ (1)(2) suy ra \(0< m\leq \frac{1}{4}\)

Xét \(f\left(x\right)=m-x\) (m là tham số).
\(Min_{\left[-2;2\right]}f\left(x\right)=f\left(2\right)=m-2;Max_{\left[-2;2\right]}=f\left(-2\right)=m+2\).
Để làm số xác định trên khoảng (-2;2) thì \(m-x>0\) trên khoảng (-2;2).
Suy ra \(Mix_{\left[-2;2\right]}f\left(x\right)\ge0\Leftrightarrow\) \(m-2\ge0\Leftrightarrow m\ge2\).

Lời giải:

Đặt \(2^{x^2}=t\). Khi đó \(t\geq 1\)

PT trở thành: \(t^2-4t+6=m\Leftrightarrow t^2-4t+(6-m)=0\) (*)

Tư duy:

Nếu (*) có 1 nghiệm duy nhất thì $x^2$ là duy nhất, do đó pt ban đầu chỉ có thể có nhiều nhất 2 nghiệm

Nếu (*) có 2 nghiệm đều khác 1, khi đó $x^2$ có hai giá trị đều khác $0$, kéo theo pt ban đầu có 4 nghiệm

Như vậy, để PT ban đâu có 3 nghiệm thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm bằng $1$. Bởi vì khi đó, nghiệm $t$ khác 1 sẽ cho 2 giá trị của $x$, nghiệm $t=1$ cho giá trị $x=0$ duy nhất.

Vậy (*) có nghiệm là $1$, tức là

\(1^2-4.1+(6-m)=0\Leftrightarrow 3-m=0\Leftrightarrow m=3\)

Thử lại thấy thỏa mãn

Đáp án D

Lời giải:

Đặt \(\log_9x=\log_6y=\log_4\left(\frac{x+y}{6}\right)=t\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=9^t\\ y=6^t\\ x+y=6.4^t\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 9^t+6^t=6.4^t\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{9}{6}\right)^t+1=6.\left(\frac{4}{6}\right)^t\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{3}{2}\right)^t+1=6.\left(\frac{2}{3}\right)^t\)

Đặt \(\left(\frac{3}{2}\right)^t=a\Rightarrow a+1=6.\frac{1}{a}\)

\(\Leftrightarrow a^2+a-6=0\Leftrightarrow a=2\) hoặc $a=-3$

Mà \(a>0\Rightarrow a=2\)

Ta có: \(\frac{x}{y}=\frac{9^t}{6^t}=\left(\frac{9}{6}\right)^t=\left(\frac{3}{2}\right)^t=a=2\)

Vậy \(\frac{x}{y}=2\)

Lời giải:

\(f(x)=e^x(\sin x-2\cos x)\)

\(\Rightarrow f'(x)=-e^x\cos x+3e^x\sin x\)

\(f''(x)=4e^x\sin x+2e^x\cos x\)

Do đó:

\(m=\frac{f'(x)}{f''(x)+5e^x}=\frac{-e^x\cos x+3e^x\sin x}{4e^x\sin x+2e^x\cos x+5e^x}=\frac{3\sin x-\cos x}{4\sin x+2\cos +5}\)

\(\Leftrightarrow m(4\sin x+2\cos x+5)=3\sin x-\cos x\)

\(\Leftrightarrow 5m=\sin x(3-4m)+\cos x(-2m-1)\) (*)

Để pt có nghiệm thì \(5m\in [\min; \max]\) của

\(\sin x(3-4m)+\cos x(-2m-1)\) (1)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\([\sin x(3-4m)+\cos x(-2m-1)]^2\leq (\sin^2x+\cos^2x)[(3-4m)^2+(-2m-1)^2](**)\)

\(\Leftrightarrow [\sin x(3-4m)+\cos x(-2m-1)]^2\leq 20m^2-20m+10\)

\(\Leftrightarrow -\sqrt{20m^2-20m+10}\leq \sin x(3-4m)+\cos x(-2m-1)\le \sqrt{20m^2-20m+10}\) (2)

Từ \((1);(2)\Rightarrow -\sqrt{20m^2-20m+10}\leq 5m\leq \sqrt{20m^2-20m+10}\)

\(\Leftrightarrow 25m^2\leq 20m^2-20m+10\) (***)

\(\Leftrightarrow m^2+4m-2\leq 0\Leftrightarrow -2-\sqrt{6}\leq m\leq \sqrt{6}-2\)

Do đó, \(a=-2-\sqrt{6};b=\sqrt{6}-2\)

\(\Leftrightarrow a+4b=-10+3\sqrt{6}\)

Đáp án B

Thực chất bạn có thể kết hợp từ dòng (*), (**), (***) luôn được nhưng để dễ hiểu hơn thì mình biến bài làm dài hơn 1 chút.