Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

\(\overrightarrow{BC}=\left(16;4\right)=4\left(4;1\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)\)

Phương trình đường cao xuất phát từ A và vuông góc BC:

\(4\left(x-3\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow4x+y-14=0\)

Pt đường cao xuất phát từ B:

\(1\left(x+11\right)+1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x+y+11=0\)

Tọa độ H là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}4x+y-14=0\\x+y+11=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\dfrac{25}{3};-\dfrac{58}{3}\right)\)

\(P=sin^2x+3cos^2x=1-cos^2x+3cos^2x=1+2cos^2x=1+2.\left(\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{9}{8}\)

\( \dfrac{1}{3}\vec{a} = \dfrac{1}{3}(-3;9) = (-1;3)\)

Suy ra : A,B đúng

\( \dfrac{2}{3}\vec{a} = \dfrac{2}{3}(-3;9) = (-2;6)\)

Suy ra: D đúng

Chọn đáp án C

Lời giải:

Nếu bạn có $\overrightarrow{a}(x_1,y_1);\overrightarrow{b}(x_2,y_2)$ thì:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2$

Áp dụng vào bài toán:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1(-2)+3.1=-2+3=1$

\(A=\dfrac{2tan^2a+\dfrac{5}{cos^2a}}{4-\dfrac{3}{cos^2a}}=\dfrac{2tan^2a+5\left(1+tan^2a\right)}{4-3\left(1+tan^2a\right)}=...\) (bạn tự thay số bấm máy nhé)

\(B=\dfrac{3cot^2a-1}{cot^2a+2}=...\)

\(\overrightarrow{AD}=\left(-4;2\right)\) 

\(\overrightarrow{CB}=\left(2;4\right)\)

⇒ \(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CB}=0\) ???

Tứ giác gì mà hai cạnh đối lại vuông góc ?????

\(\overrightarrow{AD}=\left(-4;2\right);\overrightarrow{AC}=\left(-1;-7\right);\overrightarrow{CD}=\left(-3;9\right)\)

Theo định lí cosin:

\(cosDAC=\dfrac{AD^2+AC^2-CD^2}{2AD.AC}=\dfrac{20+50+90}{2.2\sqrt{5}.5\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{10}}{5}\)

Tương tự ta tính được \(cosDBC=\dfrac{4\sqrt{10}}{5}\)

\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{DBC}\)

\(\Rightarrow ABCD\) nội tiếp

Gọi O là tâm hình vuông \(\Rightarrow OA=OB=OC=OD\)

\(\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)^2=3\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow OA^2+OB^2+OC^2+2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=3OD^2+6\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OD}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-3\overrightarrow{OD}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OD}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OB}=0\)

Quỹ tích M là đường thẳng AC