Bài 2: Phép tịnh tiến

Chọn \(A\left(0;2\right)\) và \(B\left(1;5\right)\) là 2 điểm thuộc Q

Gọi \(\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)=C\\T_{\overrightarrow{v}}\left(B\right)=D\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}C\left(a;b+2\right)\\D\left(a+1;b+5\right)\end{matrix}\right.\)

\(C;D\in\left(P\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+2=a^2\\b+5=\left(a+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3=\left(a+1\right)^2-a^2\)

\(\Rightarrow2a=2\Rightarrow a=1\)

\(\Rightarrow b=-1\)

Vậy \(T_{\overrightarrow{v}}\left(Q\right)=\left(P\right)\) với \(\overrightarrow{v}=\left(1;-1\right)\)

4. 

Gọi P là trung điểm AB, Q là trung điểm AD, I là trung điểm CP \(\Rightarrow P;Q;I\) cố định

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IP}\\\overrightarrow{IP}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\\\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{QD}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\) 

Ta có:

\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|=2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|4\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}\right|=2\left|2\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{QD}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|4\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IP}+2\overrightarrow{IC}\right|=4\left|\overrightarrow{MQ}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{MQ}\right|\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích M là đường trung trực d' của đoạn IQ

Do MNBD là hbh \(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DB}\)

\(\Rightarrow N=T_{\overrightarrow{DB}}\left(M\right)\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích N là ảnh của đường thẳng d' qua phép tịnh tiến vecto \(\overrightarrow{DB}\)

5.

Ta có: \(OI=\sqrt{OA^2-IA^2}=\sqrt{R^2-\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2}=\dfrac{R}{2}\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích I là đường tròn \(\left(O;\dfrac{R}{2}\right)\)

Do ICDK là hbh \(\Rightarrow\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{CD}\)

\(\Rightarrow K=T_{\overrightarrow{CD}}\left(I\right)\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích K là ảnh của \(\left(O;\dfrac{R}{2}\right)\) qua phép tịnh tiến vecto \(\overrightarrow{CD}\)

Ta có (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow{v}\left(-2;5\right)}\); gọi O'(x'y') là tâm đường tròn (C')

⇒\(\left\{{}\begin{matrix}x'=0+\left(-2\right)=-2\\y'=0+5=5\end{matrix}\right.\) ⇒O'(-2;5) 

Ta thấy \(OM+O'M\ge OO'\Rightarrow OM\ge OO'-O'M=OO'-1\) ( THEO BĐT TAM GIÁC OO'M ) ⇒ \(OO'=\sqrt{\left(-2-0\right)^2+\left(5-0\right)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\)

Do đó để OM ngắn nhất thì M thuộc OO' ⇒ OM=OO'-1=\(\sqrt{29}-1\)

Gọi (C') có tâm O'(a;b) và bán kính R'

Do \(T_{\overrightarrow{v}}\left(C\right)=\left(C'\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}T_{\overrightarrow{v}}\left(O\right)=O'\\R'=R=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0+-2=-2\\b=0+5=5\end{matrix}\right.\) 

Phương trình (C'): \(\left(x+2\right)^2+\left(y-5\right)^2=1\)

\(OM_{min}\Rightarrow M\) là giao điểm của OO' và (C') (giao điểm nằm giữa O và O')

Phương trình OO': \(5x+2y=0\)

Tọa độ M là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}5x+2y=0\\\left(x+2\right)^2+\left(y-5\right)^2=1\end{matrix}\right.\)

Nghiệm hệ này xấu quá (có 2 nghiệm, loại nghiệm x không thuộc \(\left(-2;0\right)\))

Lấy \(A\left(1;4\right)\in d\)

Gọi \(B=T_{\overrightarrow{w}}\left(A\right)\Rightarrow B\left(a+1;b+4\right)\)

Do \(B\in d_1\Rightarrow\left(a+1\right)-2\left(b+4\right)-3=0\)

\(\Rightarrow a-2b-10=0\Rightarrow a=2b+10\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{w}=\left(2b+10;b\right)\Rightarrow\left|\overrightarrow{w}\right|=\sqrt{\left(2b+10\right)^2+b^2}=\sqrt{5b^2+40b+100}\)

\(=\sqrt{5\left(b+4\right)^2+20}\ge\sqrt{20}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(b=-4\Rightarrow a=2\)

\(\Rightarrow M=-4\)

Ta thấy \(\dfrac{1}{1}=\dfrac{-2}{-2}\ne\dfrac{7}{-3}\Rightarrow\) d song song với d₁  ⇒ w có độ dài nhỏ nhất khi trùng với đường vuông góc 2 đường thẳng d và d₁ . Do đó ta lấy điểm A(1;4) thuộc d  Vì d1 là ảnh của d qua phép tịnh tiến T\(\overrightarrow{w}\)⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x'=1+a\\y'=4+b\end{matrix}\right.\)

Thay vào hpt của d1 ta được: \(1+a-2\left(4+b\right)-3=0\Leftrightarrow a-2b=10\)(1)

Ta có : \(\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{2}\Rightarrow2a-b=0\left(2\right)\) Từ (1) và (2) : ⇒ a=\(-\dfrac{10}{3};b=-\dfrac{20}{3}\)

⇒ M=-68/3

a: Vì (d') là ảnh của (d) nên (d')//(d)

=>(d'): x-3y+c=0

Gọi A(0;0) là một điểm trên (d) và A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến vecto v

=>A' thuộc (d')

Tọa độ điểm A' là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=0+3=3\\y_{A'}=0-2=-2\end{matrix}\right.\)

Thay x=3 và y=-2 vào (d'), ta được: 

3+6+c=0

=>c=-9

b: Vì (d') là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến vecto v nen (d')//(d)

=>(d'): 2x-3y+a=0

Gọi A(2;3) thuộc (d) và A'(x,y) là ảnh của A qua phép tịnh tiến vecto v

=>A' thuộc (d')

Tọa độ điểm A' là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=2+4=6\\y_{A'}=3-6=-3\end{matrix}\right.\)

Thay x=6 và y=-3vào 2x-3y+a=0, ta được:

a+12-9=0

hay a=-3

  Ta có: 
I'=(1/2+(-1/2);1+3)=(0;4)                 => X^2 -(y-4)^2=3^2                    <=> x^2 - (y^2-8y+16)=9                <=> x^2 -y^2 +8y  -16-9=0.        <=> x^2 - y^2 +8y - 25 =0                

Chọn D