Question

Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R=1. Biết (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến vectơ v=(-2;5). Điểm M thuộc (C') sao cho OM ngắn nhất. Tìm độ dài OM khi đó?

Answer 1

Ta có (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow{v}\left(-2;5\right)}\); gọi O'(x'y') là tâm đường tròn (C')

⇒\(\left\{{}\begin{matrix}x'=0+\left(-2\right)=-2\\y'=0+5=5\end{matrix}\right.\) ⇒O'(-2;5) 

Ta thấy \(OM+O'M\ge OO'\Rightarrow OM\ge OO'-O'M=OO'-1\) ( THEO BĐT TAM GIÁC OO'M ) ⇒ \(OO'=\sqrt{\left(-2-0\right)^2+\left(5-0\right)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\)

Do đó để OM ngắn nhất thì M thuộc OO' ⇒ OM=OO'-1=\(\sqrt{29}-1\)

 

Answer 2

Gọi (C') có tâm O'(a;b) và bán kính R'

Do \(T_{\overrightarrow{v}}\left(C\right)=\left(C'\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}T_{\overrightarrow{v}}\left(O\right)=O'\\R'=R=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0+-2=-2\\b=0+5=5\end{matrix}\right.\) 

Phương trình (C'): \(\left(x+2\right)^2+\left(y-5\right)^2=1\)

\(OM_{min}\Rightarrow M\) là giao điểm của OO' và (C') (giao điểm nằm giữa O và O')

Phương trình OO': \(5x+2y=0\)

Tọa độ M là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}5x+2y=0\\\left(x+2\right)^2+\left(y-5\right)^2=1\end{matrix}\right.\)

Nghiệm hệ này xấu quá (có 2 nghiệm, loại nghiệm x không thuộc \(\left(-2;0\right)\))