§1. Phương trình đường thẳng

lấy A(2;3) thuộc (d1)

Vì (d1)//(d2) nên \(d\left(\left(d1\right);\left(d2\right)\right)=d\left(A;\left(d2\right)\right)\)

=>\(d\left(\left(d1\right);\left(d2\right)\right)=\dfrac{\left|2\cdot6+3\cdot\left(-8\right)-13\right|}{\sqrt{6^2+\left(-8\right)^2}}=\dfrac{5}{2}\)

Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y-1=0\\5x-2y+1=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y=1\\5x-2y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10x-15y=5\\10x-4y=-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-11y=7\\5x-2y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{7}{11}\\5x=2y-1=\dfrac{-14-11}{11}=-\dfrac{25}{11}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{5}{11}\\y=-\dfrac{7}{11}\end{matrix}\right.\)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y-1=0\\2x+3y+7=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y=1\\2x+3y=-7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=-6\\2x-3y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{2}\\3y=2x-1=-3-1=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{2}\\y=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

Tọa độ C là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y+7=0\\5x-2y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=-7\\5x-2y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4x+6y=-14\\15x-6y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}19x=-17\\5x-2y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{17}{19}\\2y=5x+1=\dfrac{-85+19}{19}=\dfrac{-64}{19}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{17}{19}\\y=-\dfrac{32}{19}\end{matrix}\right.\)

Vậy: A(-5/11;-7/11); B(-3/2;-4/3); C(-17/19;-32/19)

AC: 5x-2y+1=0

=>VTPT là (5;-2)

=>VTCP là \(\overrightarrow{AC}=\left(2;5\right)\)

mà AC\(\perp\)BH

nên BH nhận \(\overrightarrow{b}=\left(2;5\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường cao BH là:

\(2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)+5\left(y+\dfrac{4}{3}\right)=0\)

=>\(2x+3+5y+\dfrac{20}{3}=0\)

=>\(2x+5y+\dfrac{29}{3}=0\)

Gọi (d') là đường thẳng qua A và vuông góc (d)

\(\Rightarrow\) (d') nhận (1;3) là 1 vtpt

Phương trình (d'):

\(1\left(x-2\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+3y-5=0\)

Gọi H là giao điểm (d) và (d') \(\Rightarrow AH\perp d\Rightarrow H\) là hình chiếu của A lên (d)

Tọa độ H là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y+3=0\\x+3y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(-\dfrac{2}{5};\dfrac{9}{5}\right)\)

Vd2:

a: Đặt Δ: y=ax+b

Vì hệ số góc là k=3 nên a=3

=>y=3x+b

Thay x=-1 và y=2 vào Δ, ta được:

\(b+3\cdot\left(-1\right)=2\)

=>b-3=2

=>b=5

=>y=3x+5

=>3x-y+5=0

b:

d: x-2y+3=0

Vì Δ vuông góc với d

nên Δ: 2x+y+c=0

Thay x=-1 và y=2 vào Δ, ta được:

\(c+2\left(-1\right)+2=0\)

=>c=0

=>Δ: 2x+y=0

c: Lấy A(1;2) và B(3;3) thuộc d

Tọa độ điểm H đối xứng của A qua M là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\cdot\left(-1\right)-1=-3\\y=2\cdot2-2=2\end{matrix}\right.\)

Tọa độ điểm K đối xứng của B qua M là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\cdot\left(-1\right)-3=-2-3=-5\\y=2\cdot2-3=4-3=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: H(-3;2); K(-5;1)

Vì Δ đối xứng với đường thẳng d qua M

và A(1;2); B(3;3) đều thuộc đường thẳng d

và H(-3;2) và K(-5;1) lần lượt là điểm đối xứng của A,B qua M

nên Δ chính là đường thẳng HK

\(\overrightarrow{HK}=\left(-2;-1\right)=\left(2;1\right)\)

=>VTPT là (-1;2)

Phương trình đường thẳng HK là:

-1(x+3)+2(y-2)=0

=>-x-3+2y-4=0

=>-x+2y-7=0

=>x-2y+7=0

=>Δ: x-2y+7=0

a: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d): ax+by+c=0

Vì (d)//3x-2y-5=0 nên (d) có VTPT là (3;-2)

mà (d) đi qua A(0;2) 

nên phương trình đường thẳng (d) là:

3(x-0)+(-2)(y-2)=0

=>3x-2y+4=0

b: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d): ax+by+c=0

Vì (d)\(\perp\)(3x-2y-5=0) nên (d) nhận \(\overrightarrow{u}=\left(3;-2\right)\) làm vecto chỉ phương

=>VTPT của (d) là (2;3)

mà (d) đi qua A(0;2)

nên phương trình đường thẳng (d) là:

2(x-0)+3(y-2)=0

=>2x+3y-6=0

c: Đặt (d1): \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-2t\\y=3-5t\end{matrix}\right.\)

=>VTCP là (-2;-5)=(2;5)

=>VTPT là (-5;2)

Gọi (d): ax+by+c=0 là phương trình đường thẳng cần tìm

Vì (d)//(d1) nên (d) nhận \(\overrightarrow{v}=\left(-5;2\right)\) làm vecto pháp tuyến

Vì (d) nhận \(\overrightarrow{v}=\left(-5;2\right)\) làm vecto pháp tuyến và (d) đi qua B(-1;5) nên phương trình đường thẳng (d) là:

-5(x+1)+2(y-5)=0

=>-5x-5+2y-10=0

=>-5x+2y-15=0

d: Đặt (d2): \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-2t\\y=3-5t\end{matrix}\right.\)

=>VTCP là (-2;-5)=(2;5)

Gọi (d): ax+by+c=0 là phương trình đường thẳng cần tìm

Vì (d)\(\perp\)(d2) và \(\overrightarrow{u}=\left(2;5\right)\) là vecto chỉ phương của (d2) nên (d) nhận \(\overrightarrow{u}=\left(2;5\right)\) làm vecto pháp tuyến

mà (d) đi qua B(-1;5) 

nên phương trình đường thẳng (d) là:

2(x+1)+5(y-5)=0

=>2x+2+5y-25=0

=>2x+5y-23=0

M là trung điểm của AB

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=2\cdot x_M=-2\\y_A+y_B=2\cdot y_M=-2\end{matrix}\right.\)(1)

N là trung điểm của BC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=2\cdot x_N=2\\y_B+y_C=2\cdot y_N=2\cdot9=18\end{matrix}\right.\)(2)

P là trung điểm của AC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_C=2\cdot9=18\\y_A+y_C=2\cdot1=2\end{matrix}\right.\)(3)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-2\\x_B+x_C=2\\x_C+x_A=18\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=-2-x_B\\x_C=2-x_B\\-2-x_B+2-x_B=18\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2x_B=18\\x_A=-2-x_B\\x_C=2-x_B\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=-9\\x_A=-2-\left(-9\right)=7\\x_C=2-\left(-9\right)=11\end{matrix}\right.\)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}y_A+y_B=-2\\y_B+y_C=18\\y_A+y_C=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_A=-2-y_B\\y_C=18-y_B\\-2-y_B+18-y_B=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2y_B=2+2-18=4-18=-14\\y_A=-2-y_B\\y_C=18-y_B\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y_B=7\\y_A=-2-7=-9\\y_C=18-7=11\end{matrix}\right.\)

vậy: A(7;-9); B(-9;7)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-16;16\right)\)

=>VTPT là (16;16)=(1;1)

Phương trình đường thẳng AB là:

\(1\left(x-7\right)+1\left(y+9\right)=0\)

=>x-7+y+9=0

=>x+y+2=0

\(\overrightarrow{NP}=\left(8;-8\right)=8\left(1;-1\right)\)

Do N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA \(\Rightarrow\) NP là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow NP||AB\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận \(\left(1;1\right)\) là 1 vecto pháp tuyến

Phương trình AB qua M có dạng:

\(1\left(x+1\right)+1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+y+2=0\)

a: A(3;1); B(2;6); C(4;-1)

\(AB=\sqrt{\left(2-3\right)^2+\left(6-1\right)^2}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}\)

\(AC=\sqrt{\left(4-3\right)^2+\left(-1-1\right)^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)

\(BC=\sqrt{\left(4-2\right)^2+\left(-1-6\right)^2}=\sqrt{2^2+7^2}=\sqrt{53}\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=\sqrt{26}+\sqrt{5}+\sqrt{53}\left(đvđd\right)\)

b: Xét ΔABC có 

\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{26+5-53}{2\cdot\sqrt{26\cdot5}}\simeq-0,96\)

=>\(\widehat{A}\simeq165^0\)

c: Gọi H(x,y) là trực tâm của ΔABC

\(\overrightarrow{AH}=\left(x-3;y-1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}=\left(x-2;y-6\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(2;-7\right);\overrightarrow{AC}=\left(1;-2\right)\)

H là trực tâm nên ta có: AH\(\perp\)BC và BH\(\perp\)AC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x-3\right)+\left(-7\right)\left(y-1\right)=0\\1\left(x-2\right)+\left(-2\right)\left(y-6\right)=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-6-7y+7=0\\x-2-2y+12=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-7y=-1\\x-2y=-10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-7y=-1\\2x-4y=-20\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3y=-1+20=19\\x-2y=-10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{19}{3}\\x=-10+2y=-10-\dfrac{38}{3}=-\dfrac{68}{3}\end{matrix}\right.\)

tham khảo

Gọi M' là điểm đối xứng của M qua AC. Ta có M' thuộc đường thẳng BC.

Phương trình đường thẳng MM' là 1(x - 6) - 1(y - 2) = 0 <=> x - y - 4 = 0. Gọi H = AC ∩ MM'

Tọa độ của H thỏa mãn hệ   =>  H(7; 3)

H là trung điểm của MM'. Suy ra M'(8; 4)

Gọi = (a; b) . Vì hai đường thẳng AB và AC tạo với nhau một góc 450 nên ta có:

cos 450 =  = |a + b| ⇔ ab = 0

TH1: a = 0, phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là y = 8, x = 8. Suy ra: B(8; 8)

TH2: b = 0, phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là y = 5, x = 4. Suy ra: B(5; 4)

\(a,\) \(\overrightarrow{BC}=\left(4;-2\right)\Rightarrow BC=\sqrt{4^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{5}\)

\(b,\) P là trung điểm AB

\(\left\{{}\begin{matrix}x_P=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{1-1}{2}=0\\y_P=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{-2+4}{2}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\left(0;1\right)\)

\(CP\left\{{}\begin{matrix}quaC\left(3;2\right)\\VTCP\overrightarrow{CP}=\left(-3;-1\right)\Rightarrow VTPT\overrightarrow{n}=\left(1;-3\right)\end{matrix}\right.\)

\(PTTQ\) của \(CP:1\left(x-3\right)-3\left(y-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-3-3y+6=0\)

\(\Leftrightarrow x-3y+3=0\)