a) Dễ thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình đã cho nên chiaw phương trình cho cos²x ta được phương trình tương đương 2tan²x + tanx - 3 = 0.

Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành

2t² + t - 3 = 0 ⇔ t ∈ {1 ; }.

Vậy

b) Thay 2 = 2(sin²x + cos²x), phương trình đã cho trở thành

3sin²x - 4sinxcosx + 5cos²x = 2sin²x + 2cos²x

⇔ sin²x - 4sinxcosx + 3cos²x = 0

⇔ tan²x - 4tanx + 3 = 0

⇔

⇔ x = + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.

c) Thay sin2x = 2sinxcosx ; = (sin²x + cos²x) vào phương trình đã cho và rút gọn ta được phương trình tương đương

sin²x + 2sinxcosx - cos²x = 0 ⇔ tan²x + 4tanx - 5 = 0 ⇔

⇔ x = + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.

d) 2cos²x - 3√3sin2x - 4sin²x = -4

⇔ 2cos²x - 3√3sin2x + 4 - 4sin²x = 0

⇔ 6cos²x - 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx - √3sinx) = 0

⇔

a) Đặt t = cos, t ∈ [-1 ; 1] thì phương trình trở thành

(1 - t²) - 2t + 2 = 0 ⇔ t² + 2t -3 = 0 ⇔

Phương trình đã cho tương đương với

cos = 1 ⇔ = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.

b) Đặt t = sinx, t ∈ [-1 ; 1] thì phương trình trở thành

8(1 - t²) + 2t - 7 = 0 ⇔ 8t² - 2t - 1 = 0 ⇔ t ∈ {}.

Các nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của hai phương trình sau :

và

Đáp số : x = + k2π; x = + k2π;

x = arcsin() + k2π; x = π - arcsin() + k2π, k ∈ Z.

c) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành 2t² + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ {-1 ; }.

Vậy

d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành

t - + 1 = 0 ⇔ t² + t - 2 = 0 ⇔ t ∈ {1 ; -2}.

Vậy

a) Đặt t = cosx, t ∈ [-1 ; 1] ta được phương trình 2t² - 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ {1 ; }.

Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau:

cosx = 1 ⇔ x = k2π và cosx = ⇔ x = + k2π.

Đáp số : x = k2π ; x = + k2π, k ∈ Z.

b) Ta có sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), do đó phương trình đã cho tương đương với

2sin2x(1 + √2cos2x) = 0 ⇔

⇔

Số cách xếp 3 nam và 3 nữ vào 6 ghế là 6! Cách.

Suy ra:

a) Ta gọi A là biến cố : “Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau”

Ta đánh số ghế như sau:

Trường hợp 1:

+ Nam ngồi ghế số 1, 3, 5 suy ra có 3! cách xếp

+ Nữ ngồi ghế số 2, 4, 6 suy ra có 3! cách xếp

Suy ra trường hợp 1 có 3!.3! = 36 cách xếp

Trường hợp 2:

+ Nữ ngồi ghế số 1, 3, 5 suy ra có 3! cách xếp

+ Nam ngồi ghế số 2, 4, 6 suy ra có 3! cách xếp

Suy ra trường hợp 1 có 3!.3! = 36 cách xếp

Suy ra:

N(A) = 3!.3! + 3!.3! = 36 + 36 = 72 cách xếp.

Vậy

b) Gọi biến cố B: “Ba bạn nam ngồi cạnh nhau”

Xem 3 bạn nam như một phần tử N và N cùng 3 bạn nữ được xem như ngồi vào 4 ghế được đánh số như sau:

_ Số cách xếp N và 3 nữ vào 4 ghế là 4!

_ Mỗi cách hoán vị 3 nam cho nhau trong cùng một vị trí ta có thêm 3! cách xếp khác nhau.

Suy ra n(B) = 4!.3!=144

Vậy :

Phép thử T được xét là: "Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu".

Mỗi một kết quả có thể có của phép thư T gồm hai thành phần là: 1 quả cầu của hộp thứ nhất và 1 quả cầu của hộp thứ 2.

Có 10 cách để lấy ra 1 quả cầu ở hộp thứ nhất và có 10 cách để lấy 1 quả cầu ở hộp thứ 2. Từ đó, vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các cách để lập được một kết quả có thể có của hai phép thử T là 10 . 10 = 100. Suy ra số các kết quả có thể có của phép thử T là n(Ω) = 100.

Vì lấy ngầu nhiên nên các kết quả có thể có của phép thử T là đồng khả năng.

Xét biến cố A: "Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu trắng".

Mỗi một kết quả có thể có thuận lợi cho A gồm 2 thành phần là: 1 quả cầu trắng ở hợp thứ nhất và 1 quả cầu (nào đó) ở hộp thứ 2. Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho A là: n(A) = 6 . 10 = 60.

Suy ra P(A) = = 0,6.

Xét biến cố B: "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu trắng".

Tương tự như trên ta tìm được số các kết quả có thể thuận lợi cho B là:

n(B) = 10 . 4 = 40.

Từ đó suy ra P(B) = = 0,4.

a) Ta có A . B là biến cố: "Lấy được 1 cầu trắng ở hộp thứ nhất và 1 cầu trắng ở hộp thứ hai". Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho A . B là:

6 . 4 =24. Suy ra:

P(A . B) = = 0,24 = 0,6 . 0,4 = P(A) . P(B).

Như vậy, ta có P(A . B) = P(A) . P(B). Suy ra A và B là hai biến cố độc lập với nhau.

b) Gọi C là biến cố: "Lấy được hai quả cầu cùng màu". Ta có

C = A . B + . .

Trong đó = "Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu đen" và P() = 0,4.

: "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu đen" và P() = 0,6.

Và ta có A . B và . là hai biến cố xung khắc với nhau.

A và B độc lập với nhau, nên và cũng độc lập với nhau.

Qua trên suy ra;

P(C) = P(A . B + . ) = P(A . B) + P( . ) = P(A) . P(B) + P() . P()

= 0,6 . 0,4 + 0,4 . 0,6 = 0,48.

c) Gọi D là biến cố: "Lấy được hai quả cầu khác màu". Ta có

D = => P(D) = 1 - P(C) = 1 - 0,48 = 0,52.

Mỗi cách xếp 4 bạn vào 4 chỗ ngồi là một hoán vị của 4 phần tử, vì vậy không gian mẫu có 4! = 24 phần tử.

a) Trước hết ta tính số cách xếp chỗ cho 4 bạn sao cho nam, nữ không ngồi đối diện nhau. Trong các cách xếp chỗ như vậy thì 2 nữ phải ngồi đối diện nhau, 2 nam cũng ngồi đối diện nhau. Trong các cách xếp chỗ như vậy thì 2 nữ phải ngồi đối diện nhau, 2 nam cũng phải ngồi đối diện nhau. Có 4 chỗ để cho bạn nữ thứ nhất chọn, với mỗi cách chọn chỗ của bạn nữ thứ nhất chỉ có duy nhất một chỗ (đối diện) cho bạn nữ thứ hai chọn. Sau khi bai bạn nữ đã chọn chỗ ngồi (đối diện nhau) thì còn lại 2 chỗ (đối diện nhau) để xếp cho 2 bạn nam và có 2! cách xếp chỗ cho 2 bạn này. Vi vậy theo quy tắc nhân, tất cả có 4 . 1 .2! = 8 cách xếp chỗ cho nam nữ không ngồi đối diện nhau. Do đó có 8 kết quả không thuận lợi cho biến cố A: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau". Do đó có 8 kết quả không thuận lợi cho biến cố A: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau". Vậy xác suất xảy ra biến cố đối của A là P() = = . Theo quy tắc cộng xác suất ta có P(A) = 1 - P() = .

b) Vì chỉ có 4 người: 2 nam và 2 nữ nên nếu 2 nữ ngồi đối diện nhau thì 2 nam cũng ngồi đối diện nhau. Do đó cũng là biến cố: "Nữ ngồi đối diện nhau". Xác suất xảy ra biến cố này là P() = .

Phép thử T được xét là: "Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con bài, rút ngẫu nhiên 4 con bài".

Mỗi kết quả có thể có là một tổ hợp chập 4 của 52 con bài. Do đó số các kết quả có thể có của phép thử T là n(Ω) = C⁴₅₂ = = 270725.

Vì rút ngẫu nhiên nên các kết quả có thể có là đồng khả năng.

a) Gọi biến cố A: "Rút được bốn con át". Ta có, số kết quả có thể có thuận lợi cho A là n(A) = 1. Suy ra P(A) = ≈ 0,0000037.

b) Gọi biến cố B: "Rút được ít nhất một con át". Ta có

= "Rút được 4 con bài đều không là át". Mỗi kết quả có thể thuận lợi cho là một tổ hợp chập 4 của 48 con bài không phải là át. Suy ra số các kết quả có thể có thuận lợi cho là C⁴₄₈ = = 194580. Suy ra P() = ≈ 0,7187.

Qua trên ta có P(B) = 1 - P() ≈ 0,2813.

c) Gọi C là biến cố: "Rút được hai con át và hai con K".

Mỗi kết quả có thể có thuận lợi cho C là một tổ hợp gồm 2 con át và 2 con K. Vận dụng quy tắc nhân tính được số các kết quả có thể có thuận lợi cho C là

n(C) = C²₄ C²₄ = 6 . 6 = 36.

Suy ra P(C) = ≈ 0,000133.

Không gian mẫu là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Số kết quả có thế có thể có là 6 (hữu hạn); các kết quả đồng khả năng.

Ta có bảng:

a) Phương trình x² + bx + 2 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = b² - 8 ≥ 0 (*). Vì vậy nếu A là biến cố: "Xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình x² + bx + 2 = 0 có nghiệm"

thì A = {3, 4, 5, 6}, n(A) = 4 và

P(A) = = .

b) Biến cố B: "Xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình x² + bx + 2 = 0 vô nghiệm" là biến cố A, do đó theo qui tắc cộng xác suất ta có

P(B) = 1 - P(A) = .

c) Nếu C là biến cố: "Xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình x² + bx + 2 = 0 có nghiệm nguyên" thì C = {3}, vì vậy

P(C) = .

Phép thử T được xét là: "Lấy ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 4 đôi giày có cỡ khác nhau".

Mỗi một kết quả có thể là một tổ hợp chập 2 của 8 chiếc giày. Do đó số các kết quả có thể có thể có của phép thử T là n(Ω) = C²₈ = = 28.

Vì lấy ngẫu nhiên, nên các kết quả có thể có của phép thử T là đồng khả năng. Gọi A là biến cố: "Lấy được hai chiếc giày tạo thành một đôi". Mỗi một kết quả có thể có thuận lợi cho A là một đôi giày trong 4 đôi giày đã cho. Do đó số các kết quả có thể có thuận lợi cho A là n(A) = 4. Suy ra P(A) = = .

Phép thử T được xét là: "Từ bốn tấm bìa đã cho, rút ngẫu nhiên ba tâm".

a) Đồng nhất số i với tấm bìa được đánh số i, i = , ta có: mỗi một kết quả có thể có của phép thử T là một tổ hợp chập 3 của 4 số 1, 2, 3, 4. Do đó không gian mẫu là:

Ω = {(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)}.

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = C³₄ = 4.

Vì lấy ngẫu nhiên, nên các kết quả cso thể có của phép thử T là đồng khả năng.

b) A = {(1, 3, 4)}; B = {(1, 2, 3), (2, 3, 4)}

c) P(A) = ; P(B) = = .