Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát \(u_n\) cho bởi công thức :
a) \(u_n=\dfrac{n}{2^n-1}\)
b) \(u_n=\dfrac{2^n-1}{2^n+1}\)
c) \(u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\)
d) \(u_n=\dfrac{n}{\sqrt{n^2+1}}\)
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) biết :
\(u_1=-1;u_{n+1}=u_n+3\) với \(n\ge1\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp : \(u_n=3n-4\)
a) Năm số hạng đầu của dãy số là -1, 2, 5, 8, 11.
b) Chứng minh un = 3n - 4 bằng phương pháp quy nạp:
Với n =1 thì u1 3.1 - 4 = -1, đúng.
Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là uk = 3k -4. Ta chứng minh hệ thức cũng đúng với n = k + 1.
Thật vậy, theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có:
uk+1 = uk + 3 = 3k - 4 + 3 = 3(k + 1) - 4.
Vậy hệ thức đúng với mọi n ε N*
Dãy số \(\left(u_n\right)\) cho bởi :
\(u_1=3;u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2},n\ge1\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát \(u_n\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp
a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.
b) Ta có: u1 = 3 = √9 = √(1 + 8)
u2 = √10 = √(2 + 8)
u3 = √11 = √(3 + 8)
u4 = √12 = √(4 + 8)
...........
Từ trên ta dự đoán un = √(n + 8), với n ε N* (1)
Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:
- Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.
- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có uk = √(k + 8) với k ≥ 1.
Theo công thức dãy số, ta có:
uk+1 = .
Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.
Dãy số \(\left(u_n\right)\) cho bởi :
\(u_1=3;u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2},n\ge1\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát \(u_n\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp
a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.
b) Ta có: u1 = 3 = √9 = √(1 + 8)
u2 = √10 = √(2 + 8)
u3 = √11 = √(3 + 8)
u4 = √12 = √(4 + 8)
...........
Từ trên ta dự đoán un = √(n + 8), với n ε N* (1)
Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:
- Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.
- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có uk = √(k + 8) với k ≥ 1.
Theo công thức dãy số, ta có:
uk+1 = .
Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.
Xét tính năng, giảm của các dãy số \(\left(u_n\right)\), biết :
a) \(u_n=\dfrac{1}{n}-2\)
b) \(u_n=\dfrac{n-1}{n+1}\)
c) \(u_n=\left(-1\right)^n\left(2^n+1\right)\)
d) \(u_n=\dfrac{2n+1}{5n+2}\)
a) Xét hiệu un+1 - un = - 2 - (
- 2) =
-
.
Vì <
nên un+1 - un =
-
< 0 với mọi n ε N* .
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
b) Xét hiệu un+1 - un =
=
Vậy un+1 > un với mọi n ε N* hay dãy số đã cho là dãy số tăng.
c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)n, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không giảm.
d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số (vì un > 0 với mọi n ε N* ) rồi so sánh với 1.
Ta có
với mọi n ε N*
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm
Trong các dãy số \(\left(u_n\right)\) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?
a) \(u_n=2n^2-1\)
b) \(u_n=\dfrac{1}{n\left(n+2\right)}\)
c) \(u_n=\dfrac{1}{2n^2-1}\)
d) \(u_n=\sin n+\cos n\)
Viết năm số hạng đầu và khảo sát tính năng, giảm của các dãy số \(\left(u_n\right)\), biết :
a) \(u_n=10^{1-2n}\)
b) \(u_n=3^n-7\)
c) \(u_n=\dfrac{2n+1}{n^2}\)
d) \(u_n=\dfrac{3^n\sqrt{n}}{2^n}\)
a)
\(u_1=10^{1-2.1}=10^{-1};u_2=10^{1-2.2}=10^{-3}\);
\(u_3=10^{1-2.3}=10^{-5}\); \(u_4=10^{1-2.4}=10^{-7}\);
\(u_5=10^{1-2.5}=10^{-9}\).
Xét \(\dfrac{u_n}{u_{n-1}}=\dfrac{10^{1-2n}}{10^{1-2\left(n-1\right)}}=\dfrac{10^{1-2n}}{10^{3-2n}}=10^{-2}=\dfrac{1}{100}\).
Suy ra: \(u_n=\dfrac{1}{100}u_{n-1}\) và dễ thấy \(\left(u_n\right)>0,\forall n\in N^{\circledast}\) nên \(u_n< u_{n-1},\forall n\ge2\).
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
Trong các dãy số (\(u_n\)) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?
a) \(u_n=2n-n^2\)
b) \(u_n=n+\dfrac{1}{n}\)
c) \(u_n=\sqrt{n^2-4n+7}\)
d) \(u_n=\dfrac{1}{n^2-6n+11}\)
a) Bị chặn trên vì \(u_n\le1,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
b) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge2,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
c) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge\sqrt{3},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
d) Bị chặn vì \(0< u_n\le\dfrac{1}{2},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
Trả lời bởi Nguyen Thuy HoaCho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi :
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=5\\u_{n+1}=u_n+3n-2,\left(n\ge1\right)\end{matrix}\right.\)
a) Tìm công thức tính \(u_n\) theo \(n\)
b) Chứng minh \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng
a)
\(u_1=5\)
\(u_2-u_1=1\)
\(u_3-u_2=4\)
............
\(u_n-u_{n-1}=3\left(n-1\right)-2=3n-5\)
Cộng từng vế của đẳng thức và rút gọn ta được:
\(u_n=5+1+4+7+...+3n-5\)
\(=5+\dfrac{\left(3n-5+1\right)\left(n-1\right)}{2}=5+\dfrac{\left(3n-4\right)\left(n-1\right)}{2}\).
Vậy \(u_n=5+\dfrac{\left(3n-4\right)\left(n-1\right)}{2}\) với \(n\ge1\).
Xét hiệu:
\(u_1=5\)
\(u_n-u_{n-1}=3n-5\) \(\left(n\ge2\right)\)
Với \(n\ge2\) thì \(3n-5>0\) nên \(u_n>u_{n-1}\).
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=n^2-4n+3\)
a) Viết công thức truy hồi của dãy số
b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới
c) Tính tổng n \(n\) số hạng đầu của dãy đã cho
Trả lời bởi Bùi Thị Vân