Thấy \(a+b+c+d=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-b-c-d\\b=-a-c-d\\c=-a-b-d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab-cd=-b^2-bc-bd-cd=\text{-(b + c) (b + d)=(a+d)(b+d)}\\bc-ad=-ca-c^2-cd-ad=\text{-(a + c) (c + d)=(b+d)(c+d)}\\ca-bd=-a^2-ab-ad-bd=\text{-(a + b) (a + d)}=\left(c+d\right)\left(a+d\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)x=(a+d)(b+d)(c+d)
1/ cho a,b,c thỏa \(ab+bc+ca\ge11\)
c/m \(\sqrt[3]{a^2+3}+\dfrac{7}{5\sqrt[3]{14}}\sqrt[3]{b^2+3}+\dfrac{\sqrt[3]{9}}{5}\sqrt[3]{c^2+3}\ge\dfrac{23}{5\sqrt[3]{2}}\)
2)cho a,b,c dương thỏa a+b+c=3
c/m \(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^2-b^2\right)\left(b^2-c^2\right)\left(c^2-a^2\right)\le\dfrac{729\sqrt{3}}{8}\)
p/s: cách của mik đa phần dùng cô-si (I need another way!!)
Chứng minh rằng:
a> \(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\) với a,b,c,d >0
b> \(\dfrac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}>2\)
Cho ba số hữu tỉ a; b; c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng \(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\) là một số hữu tỉ?
cho a , b , c > 0 thỏa mãn \(a+b+c+\sqrt{abc}=4\)
Tính giá trị : \(p=\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)+b\left(4-c\right)\left(4-a\right)-c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}-\sqrt{abc}\)
1) gpt \(x^2+3x\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x}}=10x-1\)
2) ghpt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+2\left(x+y\right)=6\\xy\left(x+2\right)\left(y+2\right)=9\end{matrix}\right.\)
3) cho a,b,c dương thỏa abc=1
CMR \(\dfrac{2}{a^2\left(b+c\right)}+\dfrac{2}{b^2\left(c+a\right)}+\dfrac{2}{c^2\left(a+b\right)}\ge3\)
Bài 1: giải các PT sau
a) \(2\sqrt{x}=6\)
b) \(4-5\sqrt{x}=-1\)
c) \(4\sqrt{x}=-3\)
d) \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)=0\)
e) \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)=0\)
f) \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+3\right)=0\)
Bài 2:
\(9\left(x+2\right)^2-108=0\)
Cho a>c ;b>c; c>0.CMR:
\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\) \(\leq\) \(\sqrt{ab}\)
1, cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2a+b}{a\left(a+2b\right)}+\frac{2b+c}{b\left(b+2c\right)}+\frac{2c+a}{c\left(a+2c\right)}\)
2,cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=5 và xy+yz+xz=8 chứng minh rằng \(1\le x\le\frac{7}{3}\)
3, cho a,b,c>0 chứng minh rằng\(\frac{a^2}{2a^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{b^2}{2b^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{c^2}{2c^2+\left(b+a-c\right)^2}\le1\)
4,cho a,b,c là các số thực bất kỳ chứng minh rằng \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\left(ab+bc+ac-1\right)^2\)
5, cho a,b,c > 1 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)chứng minh rằng \(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\le\sqrt{a+b+c}\)
Rút gọn và tính giá trị các biểu thức :
a, \(\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2x^2}}-\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}}\left(x>0\right)T\text{ại}:x=1\)
\(b,\dfrac{\sqrt{a^3+4a^2+4a}}{\sqrt{a\left(a^2-2ab+b^2\right)}}-\dfrac{\sqrt{b^3-4b^2+4b}}{\sqrt{b\left(a^2-2ab+b^2\right)}}+ab\) ( a > b > 2 ) tại a = 4 ; b = 3
c, \(ab^2.\sqrt{\dfrac{4}{a^2.b^4}}+ab\left(a;b\ne0;a>0\right)\) Tại a = 1 ; b = - 2
d,\(\dfrac{a+b}{b^2}.\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2+2ab+b^2}}\left(a;b>0\right)\) Tại a = 1 ; b = 2