Ta có: \(2x=3y=4z.\)
=> \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}\) và \(x-y+z=35.\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}=\frac{x-y+z}{3-4+2}=\frac{35}{1}=35.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{3}=35\Rightarrow x=35.3=105\\\frac{y}{4}=35\Rightarrow y=35.4=140\\\frac{z}{2}=35\Rightarrow z=35.2=70\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(105;140;70\right).\)
Chúc bạn học tốt!
Để tìm các giá trị của \( x \), \( y \) và \( z \) thỏa mãn hệ phương trình:
\[
\frac{2x - 3y}{5} = \frac{5y - 2z}{4} = \frac{3z - 5x}{5}
\]
Ta đặt \( k \) là giá trị chung của các phân thức này. Ta có được ba phương trình:
1. \( 2x - 3y = 5k \) (1)
2. \( 5y - 2z = 4k \) (2)
3. \( 3z - 5x = 5k \) (3)
Từ phương trình (1), ta tìm \( x \):
\[
2x = 3y + 5k \implies x = \frac{3y + 5k}{2}
\]
Từ phương trình (2), ta tìm \( z \):
\[
2z = 5y - 4k \implies z = \frac{5y - 4k}{2}
\]
Tiếp theo, ta thay \( x \) và \( z \) vào phương trình (3):
\[
3\left(\frac{5y - 4k}{2}\right) - 5\left(\frac{3y + 5k}{2}\right) = 5k
\]
Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số:
\[
3(5y - 4k) - 5(3y + 5k) = 10k
\]
Mở rộng:
\[
15y - 12k - 15y - 25k = 10k
\]
\[
-37k = 10k
\]
\[
-47k = 0 \implies k = 0
\]
Giờ ta sẽ thay \( k = 0 \) vào các phương trình để tìm \( x \), \( y \) và \( z \):
Từ phương trình (1):
\[
2x - 3y = 0 \implies 2x = 3y \implies x = \frac{3y}{2}
\]
Từ phương trình (2):
\[
5y - 2z = 0 \implies 2z = 5y \implies z = \frac{5y}{2}
\]
Bây giờ thay \( x \) và \( z \) vào điều kiện \( xy + yz - zx = 81 \):
Thay các giá trị:
\[
\left(\frac{3y}{2}\right)y + y\left(\frac{5y}{2}\right) - \left(\frac{3y}{2}\right)\left(\frac{5y}{2}\right) = 81
\]
Tính toán:
\[
\frac{3y^2}{2} + \frac{5y^2}{2} - \frac{15y^2}{4} = 81
\]
Kết hợp các hạng tử lại:
\[
\frac{8y^2}{2} - \frac{15y^2}{4} = 81
\]
Nhân với 4 để loại bỏ mẫu:
\[
16y^2 - 15y^2 = 324 \implies y^2 = 324 \implies y = 18 \text{ (vì } y \text{ phải dương)}
\]
Giờ thay \( y = 18 \) vào để tìm \( x \) và \( z \):
\[
x = \frac{3(18)}{2} = 27, \quad z = \frac{5(18)}{2} = 45
\]
Vậy nghiệm là:
\[
\boxed{x = 27, y = 18, z = 45}
\]
