Question

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(x^2-2mx+m+2=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1^3+x_2^3\le16\)

( Mong mọi người giúp đỡ )

Answer 1

\(\Delta'=m^2-\left(m+2\right)\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-1\end{matrix}\right.\) (1)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\)

\(x_1^3+x_2^3\le16\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)\le16\)

\(\Leftrightarrow8m^3-6m\left(m+2\right)-16\le0\)

\(\Leftrightarrow4m^3-3m^2-6m-8\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(4m^2+5m+4\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left[\left(2m+\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{39}{16}\right]\le0\)

\(\Leftrightarrow m\le2\) (2)

Kết hợp (1); (2) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m\le-1\end{matrix}\right.\)