a/ \(Q=\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{6}{3x+2y}=\dfrac{3}{2x}+\dfrac{9}{4y}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{3}{4y}+\dfrac{6}{3x+2y}\)
\(Q=\left(\dfrac{3}{2x}+\dfrac{9}{4y}\right)+\left(\dfrac{3x+2y}{4xy}+\dfrac{6}{3x+2y}\right)\)
\(Q=\left(\dfrac{3}{2x}+\dfrac{9}{4y}\right)+\left(\dfrac{3x+2y}{24}+\dfrac{6}{3x+2y}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{27}{8xy}}+2\sqrt{\dfrac{6}{24}}=\dfrac{5}{2}\)
\(\Rightarrow Q_{min}=\dfrac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x.y=6\\3x+2y=\sqrt{24.6}=12\\12y=18x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\)
b/ Câu này mình chỉ giải được khi đề cho x, y, z là số dương, còn đề bạn đưa ra không thấy nhắc đến. Mình giải với trường hợp x, y, z dương, còn không dương có giải được ko và giải thế nào thì nhờ bạn khác :D
Dựa vào BĐT \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{2}{a+b}\) ta biến đổi:
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}}\ge\dfrac{2x^3}{x^2+1-x^2}=2x^3\)
Tương tự ta có \(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3\) ; \(\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\) ; dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)