Question

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Q = \(\dfrac{x+1}{1+y^2}\)+\(\dfrac{y+1}{1+z^2}\)+\(\dfrac{z+1}{1+x^2}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{x+1}{1+y^2}=x+1-\dfrac{y^2\left(x+1\right)}{y^2+1}\ge x+1-\dfrac{y\left(x+1\right)}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{y+1}{1+z^2}\ge y+1-\dfrac{z\left(y+1\right)}{2};\dfrac{z+1}{1+x^2}\ge z+1-\dfrac{x\left(z+1\right)}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(Q\ge\left(x+y+z+3\right)-\dfrac{x\left(z+1\right)+y\left(x+1\right)+z\left(y+1\right)}{2}\)

\(=6-\dfrac{xy+yz+xz+x+y+z}{2}\)

\(\ge6-\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+3}{2}=6-3=3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)