a, (O;R) có: \(\hat{A}=\)\(\dfrac{sđ\stackrel\frown{CN}-sđ\stackrel\frown{BM}}{2}\)(góc ở ngoài đường tròn)
\(\hat{BSM}=\)\(\dfrac{sđ\stackrel\frown{CN}+sđ\stackrel\frown{BM}}{2}\)(góc ở trong đường tròn)
\(\hat{CBN}=\)\(\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{CN}\)(góc nội tiếp = 1/2 số đo cung)\(\Leftrightarrow sđ\stackrel\frown{CN}=2\)\(\hat{CBN}\)(1)
Ta có: \(\hat{A}+\hat{BSM}\)\(=\dfrac{sđ\stackrel\frown{CN}-sđ\stackrel\frown{BM}+sđ\stackrel\frown{CN}+sđ\stackrel\frown{BM}}{2}=\dfrac{2sđ\stackrel\frown{CN}}{2}=sđ\stackrel\frown{CN}\)(2)
Từ (1),(2) ta được điều phải chứng minh
b, Xét \(\Delta AMC\)và \(\Delta ABN\)có:
\(\hat{A}\)chung
\(\hat{ACM}=\hat{BNA}\)(cùng chắn \(\stackrel\frown{BM}\)
\(\Rightarrow\Delta AMC~\Delta ABN\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AN}\Leftrightarrow AM.AN=AC.AB\)