Ta có:
\(P=\dfrac{5}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}=5\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{4}{3^2}=\dfrac{4}{9}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{3^2}{2}=\dfrac{9}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{2}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge5\cdot\dfrac{4}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{22}{9}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{3}{2}\)
a) Vì MH vuông góc với AB (gt)
=> AMH=90 => M thuộc đường tròn đường kính AH
Tương tự N thuộc đường tròn đường kính AH
=> M,N thuộc đường tròn đường kính AH
=> MANH là tứ giác nội tiếp
Gọi đường tròn đường kính AH là (T)
b) Xét tam giác AHB vuông tại H (do AH vuông góc với AB) có đường cao HM(do HM vuông góc AB)
nên AM.AB=AH^2 (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông)
Tương tự AN.AC=AH^2
=> AM.AB=AN.AC
c) Vì tứ giác MANH nội tiếp (chứng minh trên)
=> AMN= AHN (do M,H là 2 đỉnh kề nhau của tứ giác)
Lại có HN vuông góc AC (gt)
=> tam giác ANH vuông tại N => AHN + HAN=90
Mặt khác AH vuông góc BC (gt)
=> tam giác AHC vuông tại H => HAN + HCA=90
=> AHN=HCA
Mà AHN=AMN(chứng minh trên)
=> AMN=BCA
Vì QH vuông góc với AH . Mà AH là đường kính của (T)
=> QH là tiếp tuyến của (T)
=> MHQ = MNH(hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Xét tam giác QMH và tam giác QHN có:
MQH chung ; MHQ = MNH (cmt)
=> QMH đồng dạng QHN (g.g)
=> QM/QH=QH/QN => QH^2=QM.QN
d) Kẻ đường cao OJ của tam giác BOC cân tại O
=> OJ đồng thời là đường cao, đường phân giác
=> BC=2BJ ; BOJ=BOC/2
Xét (O) có BAC=60 => BOC=120
=> BOJ=60
Xét tam giác BOJ vuông tại J có:
OJ= BO. cos BOJ=3/2; BJ = BO.sin BOJ = 3 căn 3/2
=> BC=3 căn 3
=> Diện tích tam giác BOC = 3 căn 3 . 3/2 /2 =9 căn 3/4
Diện tích hình quạt tròn BOC có bán kính R=3, cung 120 độ là
π.3^2.120/360=3π
Vậy diện tích hình viên phấn giới hạn bởi cung BC nhỏ và dây BC là
3π-9 căn 3/4
