Question

Chứng minh rằng

1+\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)+ \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)+........+\(\dfrac{1}{\sqrt{100}}\) < 20

giải gấp giùm mình nha cảm ơn các bạn trước

Answer 1

Lời giải:

Gọi biểu thức vế trái là $A$. Ta có:

\(\frac{A}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{100}}\)

\(< \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

Mà, thực hiện liên hợp để trục căn thức dưới mẫu thì ta có:

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}+..+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{1}\)

\(=\frac{1}{2}+\sqrt{100}-1=\frac{19}{2}\)

Do đó:

\(\frac{A}{2}< \frac{19}{2}\Rightarrow A< 19< 20\) (đpcm)