Chứng minh định lí "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AC=BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh rằng:
a) Tam giác BDE là tam giác cân.
b) Tam giác ACD = tam giác BDC.
c) Hình thang ABCD là hình thang cân.
a, \(AC\text{//}BE\left(gt\right),AB\text{//}CD\left(gt\right)\Rightarrow ABEC\) là hBH (dhnb) \(\Rightarrow BE=AC\left(gt\right)\)
mà \(BD=AC\left(gt\right)\Rightarrow BE=BD\Rightarrow\Delta BDE\) cân tại B (dhnb)
b, abec là hbh (cmt)=> góc e = góc c (t/c hbh)
mà bde cân tại b (từ b) => góc e = góc d
suy ra góc c = góc d
xét tam giác acd và bdc có
ac=bd
dc chung
góc c= góc d (cmt)
vậy tam giác acd = tam giác bdc (c.g.c) (1)
c)Từ (1) => góc adc = góc bcd (t/c 2 tam giác bằng nhau)
mà abcd là hình thang , ab//cd (gt)
nên abcd là hình thang cân (dhnb)