Question

chứng minh a\(\sqrt{b-1}\) + b\(\sqrt{a-1}\) ≤ab

Answer 1

\(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{b-1}}{b}+\frac{\sqrt{a-1}}{a}\le1\)

Áp dụng BĐT Cô-si :

\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1\cdot\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{b-1}}{b}\le\frac{\frac{b}{2}}{b}=\frac{1}{2}\)

Chứng minh tương tự \(\frac{\sqrt{a-1}}{a}\le\frac{1}{2}\)

Cộng theo vế ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\)