Question

Giúp mk với!!!

Cho \(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}=1\)

Chứng minh rằng \(a^2+b^2=1\)

Answer 1

Ta có \(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}=1\)

\(\Rightarrow a^2\left(1-b^2\right)+b^2\left(1-a^2\right)+2ab\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}=1\)

\(\Rightarrow\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)-2ab\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}+\left(ab\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}-ab\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}=ab\Rightarrow\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)=a^2b^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=1\).