a) Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC(gt)
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)(Định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\(\Leftrightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\frac{BH}{CH}\)
Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB(gt)
nên \(HB^2=EB\cdot AB\)(Định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\(\Leftrightarrow EB=\frac{HB^2}{AB}\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC(gt)
nên \(HC^2=CF\cdot AC\)(Định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)
hay \(CF=\frac{HC^2}{AC}\)
Ta có: \(\frac{EB}{CF}=\frac{HB^2}{AB}:\frac{HC^2}{AC}=\frac{HB^2}{AB}\cdot\frac{AC}{HC^2}=\left(\frac{BH}{CH}\right)^2\cdot\frac{AC}{AB}\)
\(=\left(\frac{AB^2}{AC^2}\right)^2\cdot\frac{AC}{AB}\)
\(=\frac{AB^4}{AC^4}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^3}{AC^3}\)(đpcm)