Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến. Gọi D là điểm đối xứng của A qua M.
a)Chứng minh: tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
b)Gọi I là hình chiếu của M trên AC và N là diểm đối xứng của M qua I.
Chứng minh: tứ giác AMCN là hình thoi.
c)Gọi E là trung điểm đoạn BN. Chứng minh: Ba điểm: A,E,M thẳng hàng.
d)Gọi H là giao điểm giữa BI với CN. Chứng minh: CN=3.NH
e)Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCN trở thành hình vuông.
KHÓ NHA CÁC BẠN!!!
a) Xét tứ giác ABDC có
M là trung điểm của đường chéo BC(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
M là trung điểm của đường chéo AD(A và D đối xứng nhau qua M)
Do đó: ABDC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành ABDC có \(\widehat{BAC}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)
nên ABDC là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)
nên \(AM=\frac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(CM=\frac{BC}{2}\)(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
nên AM=CM
Xét ΔAMC có AM=CM(cmt)
nên ΔAMC cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)
Ta có: ΔAMC cân tại M(cmt)
mà MI là đường cao ứng với cạnh đáy AC(I là hình chiếu của M trên AC)
nên MI là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(Định lí tam giác cân)
⇒I là trung điểm của AC
Xét tứ giác AMCN có
I là trung điểm của đường chéo AC(cmt)
I là trung điểm của đường chéo MN(M đối xứng với N qua I)
Do đó: AMCN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AMCN có AM=CM(cmt)
nên AMCN là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Ta có: I là trung điểm của MN(M đối xứng với N qua I)
nên \(MI=\frac{MN}{2}\)(1)
Xét ΔCAB có
M là trung điểm của BC(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
I là trung điểm của AC(cmt)
Do đó: MI là đường trung bình của ΔCAB(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MI//AB và \(MI=\frac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AB=MN
Ta có: MI//AB(cmt)
mà N∈MI
nên MN//AB
Xét tứ giác ABMN có MN//AB(cmt) và MN=AB(cmt)
nên ABMN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AM và BN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
mà E là trung điểm của BN(gt)
nên E là trung điểm của AM
hay A,E,M thẳng hàng(đpcm)
