cho tam giác ABC vuông tại A (AC<AB),đường cao AH.Vẽ đường tròn tâm C,bán kính CA cắt dường thẳng AH tại D.Đường thẳng qua H song song với AB cắt cung nhỏ AD của đường tròn (C) tại E.Tia Be cắt đường tròn (C) tại F (F khác E),cắt AD tại I.Gọi K là trung điểm của AF.
a.Cm: BD là tiếp tuyến của (C)
b.CM: BACD là tứ giác nội tiếp
c.CM: BE.BF=BH.BC
d.CM :ba điểm C,I,K thẳng hàng
a) AH ⊥ BC tại H(gt) hay AD ⊥ BC tại H
Cm △AHC = △DHC ( ch-cgv)
=> Góc ACH= góc DCH ( 2 góc tg ứng)
Hay góc ACB = góc DCB
Cm △ABC =△DBC (cgc)=> góc BAC= góc BDC = 90 độ
=>CD ⊥ BD tại D
Mà CD là bkinh của (C)
=>BD là tiếp tuyến tại D (đpcm)
b) Tứ giác BACD có:
Góc BAC + góc BDC = 90+90=180
A và D là 2 đỉnh đối diện nhau
=> BACD là tứ giác nt(dhnb) (đpcm)
c) Xét (C) có: góc BAE= góc AFE ( hệ quả) hay góc BAE = góc AFB
Cm △BAE ᔕ △BFA (gg)
=>BA/BF =BE/BA ( cặp cạnh tg ứ tỉ lệ)
=>BA^2 = BE.BF(1)
△ABC vuông tại A có đg cao AH
=> BA^2= BH.BC ( HTL) (2)
Từ (1) và (2) =>BE.BF = BH.BC (đpcm)
d) => BE/BC = BH/BF
Cm △BEH ᔕ △BCF( cgc)
=> Góc BHE = góc BFC ( 2 góc tg ứng)
EH//AB (gt) => góc EHB = Góc HBA ( so le trog)(3)
Cm △HBA ᔕ △HAC(gg)
=> Góc HBA = góc HAC ( tg ứng)(4)
Từ (3) và (4)=> góc EHB = góc HAC
Mà góc EHB = góc BFC ( cmt)
=> Góc HAC = góc BFC
Hay góc IAC = góc IFC (5)
CA = CF => △CAF cân tại C (đn)
=> Góc CFA = góc CAF(tc) (6)
Từ (5) và (6) => Góc IAC + góc CAF = góc IFC + góc CFA
=>Góc IAF = góc IFA
=> △IAF cân tại I (tc)
Lại có trung tuyến IK
=> IK cũng là đg cao (tc)
=> IK ⊥ AF tại K (7)
Xét (C): K là trung đ AF (gt) => CK ⊥ AF tại K (đly) (8)
Từ (7) và (8) => C, I, K thẳng hàng(đpcm).