Question

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O Đường kính AD. Gọi AH là đường cao cua tam giác ABC. Kẻ BE vuông góc với AD tại E.

a)Chứng minh ABHE nội tiếp

b)Chúng minh HE vuông góc với AC

c)Gọi F là hình chiếu của C trên AD và M là trung điểm của BC. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF

Answer 1

a) + Vì AH là đường cao của tam giác ABC (gt) => AH⊥BC tại H => \(\widehat{AHB}\) = 90^o

+ Vì BE ⊥ AD tại E (gt) => \(\widehat{AEB}\) = 90^o

+ Xét tứ giác ABHE , có : hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc 90^o (cmt)

=> tứ giác ABHE là tứ giác nội tiếp .

Vậy tứ giác ABHE là tứ giác nội tiếp .

b) Ta có: \(\widehat{ACB}\) = \(\frac{1}{2}\)sđ\(\stackrel\frown{AB}\) ( góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AB}\) )

\(\widehat{BAD}\) = \(\frac{1}{2}\)sđ\(\stackrel\frown{BD}\) ( góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BD}\) )

=> \(\widehat{ACB}+\widehat{BAD}\) = \(\frac{1}{2}\)( sđ\(\stackrel\frown{AB}\) + sđ\(\stackrel\frown{BD}\) ) =\(\frac{1}{2}\).sđ\(\stackrel\frown{ABD}\)

= \(\frac{1}{2}.\) 180^o = 90^o

Mà : \(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{CAH}\) = 90^o ( vì AH⊥BC )

Suy ra: \(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{CAH}\) => \(\widehat{BAH}+\widehat{HAD}\) = \(\widehat{HAD}+\widehat{DAC}\) => \(\widehat{BAH}=\widehat{DAC}\) (1)

+ Vì tứ giác ABHE là tứ giác nội tiếp ( cm câu a )

=> \(\widehat{ABH}=\widehat{AEN}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{DAC}\) + \(\widehat{AEN}\) = \(\widehat{BAH}\) + \(\widehat{ABH}\) = 90^o ( vì tam giác AHB vuông tại H )

Xét ΔAEN , có : \(\widehat{DAC}\) + \(\widehat{AEN}\) + \(\widehat{ANE}\) = 180^o ( định lý tổng 3 góc trong tam giác )

=> \(\widehat{ANE}\) = 180^o- ( \(\widehat{DAC}\) + \(\widehat{AEN}\) ) = 180^o - 90^o = 90^o

=> EN⊥AC => HE⊥AC ( đpcm )

Vậy HE⊥AC

( Phần c mk c bt lm )