Cho tam giác ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC.
a) Biết BC=10cm. Tính MN
b)Trên tia đối NM lấy điểm D sao cho ND=NM. Tứ giác AMCD là hình gì? Vì sao?
c)Trong trường hợp tam giác ABC cân tại C.Chứng tỏ AMCD là hình chữ nhật.
d)Với điều kiện nào của tam giác ABC thì AMCD là hình thoi?
a) Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒\(MN=\frac{BC}{2}\) và MN//BC(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
hay \(MN=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5cm\)
Vậy: MN=5cm
b) Ta có: ND=NM(gt)
mà N,M,D thẳng hàng
nên N là trung điểm của MD
Xét tứ giác AMCD có
N là trung điểm của đường chéo AC(gt)
N là trung điểm của đường chéo MD(cmt)
Do đó: AMCD là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
c) Ta có: ΔABC cân tại C(gt)
⇔CA=CB
Ta có: MD=2MN(N là trung điểm của MD)
mà BC=2MN(cmt)
nên MD=BC
mà CA=CB(cmt)
nên MD=CA
Xét hình bình hành AMCD có MD=CA(cmt)
nên AMCD là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
d) Để hình bình hành AMCD là hình thoi thì AM=CM
mà \(AM=\frac{AB}{2}\)(M là trung điểm của AB)
nên \(CM=\frac{AB}{2}\)
Xét ΔACB có
CM là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(M là trung điểm của AB)
\(CM=\frac{AB}{2}\)(cmt)
Do đó: ΔACB vuông tại C(định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
hay \(\widehat{ACB}=90^0\)
Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện \(\widehat{ACB}=90^0\) thì AMCD là hình thoi