Question

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O). tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D, từ D kẻ đường thẳng song song với AB, đường nayfcatws đường tròn ở E và F, cắt AC ở I.

c/m BDCO nội tiếp

c/m DOIC nội tiếp

c/m I là trung điểm của FE

Answer 1

Lời giải:

a)

Theo tính chất tiếp tuyến thì

\(OB\perp BD, OC\perp CD\Rightarrow \angle OBD=\angle OCD=90^0\)

\(\Rightarrow \angle OBD+\angle OCD=180^0\)

Do đó tứ giác $OBDC$ nội tiếp.

b) Vì $ID\parallel AB$ nên $\angle CID=\angle CAB (1)$ (hai góc đồng vị)

Mặt khác theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta dễ thấy $OD$ là đường phân giác của góc $\angle BOC$

Do đó: \(\angle DOC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\text{ cung BC}=\angle CAB(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow \angle CID=\angle DOC\Rightarrow DOIC\) nội tiếp

c)

Vì $DOIC$ nội tiếp (cmt) nên $\angle OID=\angle OCD=90^0$

\(\Rightarrow OI\perp EF\)

Tam giác $OEF$ cân do ($OE=OF$) nên đường cao $OI$ đồng thời cũng là đường trung tuyến. Do đó $I$ là trung điểm của $EF$

Ta có đpcm.