Vì ΔABC cân tại A
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB =AC}\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\text{ }\end{matrix}\right.\)
Vì \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)
Vì K đối xứng với O qua E
⇒ E là trung điểm của OK
Vì H đổi xứng với O qua D
⇒ D là trung điểm của OH
Xét ΔKOH có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{E là trung điểm của OK}\\\text{D là trung điểm của OH}\end{matrix}\right.\)
⇒ DE là đường trung bình của ΔKOH
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{DE // KH}\\DE=\dfrac{1}{2}KH\end{matrix}\right.\)
Vì BD là đường trung tuyến của ΔABC
⇒ D là trung điểm của AC
Vì CE là đường trung tuyến của ΔABC
⇒ E là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{D là trung điểm của AC}\\\text{E là trung điểm của AB}\end{matrix}\right.\)
⇒ DE là đường trung bình của ΔABC
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{DE // BC}\\DE=\dfrac{1}{2}BC\end{matrix}\right.\) (2)
Từ (1), (2) ⇒ KH // BC và KH = BC
Tứ giác BKHC có \(\left\{{}\begin{matrix}\text{KH // BC}\\\text{KH = BC}\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác BKHC là hình bình hành (tứ giác của hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành)
Vì DE // BC
⇒ Tứ giác BEDC là hình thang
lại có \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\) (kề đáy BC)
⇒ Tứ giác BEDC là hình thang cân
⇒ BE = CD
Xét ΔEBC và ΔDCB có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{BC chung}\\\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\\\text{ BE = CD}\end{matrix}\right.\)
⇒ ΔEBC = ΔDCB (c.g.c)
⇒ \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\)(2 góc tương ứng)
⇒ ΔBOC cân tại O
⇒ OB = OC
Vì tứ giác BKHC là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo BH và CK
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{O là trung điểm của BH}\\\text{O là trung điểm của CK}\end{matrix}\right.\)
Vì O là trung điểm của BH
⇒ \(OB=OH=\dfrac{1}{2}BH\)
Vì O là trung điểm của CK
⇒ \(OC=OK=\dfrac{1}{2}CK\)
Như vậy \(\left\{{}\begin{matrix}\text{OB = OC}\\OB=OH=\dfrac{1}{2}BH\\OC=OK=\dfrac{1}{2}CK\end{matrix}\right.\)
⇒ \(\dfrac{1}{2}BH=\dfrac{1}{2}CK\)
⇒ BH = CK
Vì tứ giác BKHC là hình bình hành có BH = CK
⇒ Tứ giác BKHC là hình chữ nhật (hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật)
VẬY TỨ GIÁC BKHC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT (đpcm)
Chúc bạn học tốt môn Toán nhé!!!
