- Ta có : \(x^2-\left(m-2\right)x-3=0\)
- Ta thấy : \(ac=1\left(-3\right)=-3< 0\)
=> Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)
- Ta có : \(\sqrt{x^2_1+2020}-x_1=\sqrt{x^2_2+2020}+x_2\)
=> \(\sqrt{x^2_1+2020}-\sqrt{x^2_2+2020}=x_1+x_2\)
=> \(x^2_1+2020+x_2^2+2020-2\sqrt{\left(x^2_1+2020\right)\left(x^2_2+2020\right)}=x^2_1+x^2_2+2x_1x_2\)
=> \(4046=2\sqrt{\left(x^2_1+2020\right)\left(x^2_2+2020\right)}\)
=> \(4092529=\left(x^2_1+2020\right)\left(x^2_2+2020\right)\)
=> \(x^2_1x^2_2+2020x_1^2+2020x^2_2+4080400=4092528\)
=> \(2020x_1^2+2020x^2_2=12120\)
=> \(x^2_1+x^2_2=6\)
=> \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\)
=> \(m^2-4m+4-2\left(-3\right)=6\)
=> \(m^2-4m+4=0\)
=> \(m=2\)
Vậy ....
\(x_1x_2=-3< 0\Rightarrow\)pt đã cho có 2 nghiệm trái dấu
\(\Leftrightarrow\sqrt{x_1^2+2020}-x_2=x_1+\sqrt{x_2^2+2020}\)
\(\Rightarrow x_1^2+2020+x_2^2-2x_2\sqrt{x_1^2+2020}=x_1^2+x_2^2+2020+2x_1\sqrt{x_2^2+2020}\)
\(\Rightarrow-x_2\sqrt{x_1^2+2020}=x_1\sqrt{x_2^2+2020}\)
\(\Rightarrow x_2^2\left(x_1^2+2020\right)=x_1^2\left(x_2^2+2020\right)\)
\(\Rightarrow x_1^2=x_2^2\Rightarrow x_1=-x_2\)
\(\Rightarrow x_1+x_2=0\Rightarrow m-2=0\Rightarrow m=2\)
Có thể thế vào tìm nghiệm và thay vào điều kiện đề bài để thử cho chặt chẽ hơn (do các bước biến đổi ko tương đương)