a) Với m=-1, phương trình (1) <=> \(x^2-2.\left(-1\right).x+\left(-1\right)^2-1=0\)
<=> \(x^2+2x+1-1=0\)<=> \(x^2+2x=0\) <=> \(x(x+2)=0\) <=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy với m=-1 thì tập nghiệm của phương trình là S={0;-2}
b) Xét phương trình (1) có:
\(\Delta'=b'^2-ac=\left(-1\right)^2-\left(m^2-1\right)=1-m^2+1=2-m^2\)
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta'>0\) hay \(2-m^2>0\)\(\Leftrightarrow m^2< 2\Leftrightarrow-2< m< 2\)
Vậy với -2<m<2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
c)Để phuong trình (1) có 2 nghiêm \(x_1,x_2\) thì \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow2-m^2\ge0\Leftrightarrow m^2\le2\Leftrightarrow-2\le m\le2\)
Theo định lý Vi-ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-\left(-2m\right)}{1}=2m\\x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{m^2-1}{1}=m^2-1\end{matrix}\right.\)
Ta có: P=x12+x22=(x12+2x1.x2+x22)-2x1.x2=(x1+x2)2-2x1.x2=(2m)2-2(m2-1) =4m2-2m2+2=2m2+2
P đạt giá trị nhỏ nhất khi 2m2+2 đạt giá trị nhỏ nhất
vì m2\(\ge\)0 => 2m2\(\ge\)0 => 2m2+2\(\ge\)2
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2m2=0 <=> m2=0 <=> m=0
Vậy khi m=0 thì giá trị nhỏ nhất của P là 2
đạt giá trị nhỏ nhất