Cho (O) đường kính AB.Trên (O) lấy điểm C sao cho AC <BC (C\(\ne\)A).Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở điểm D,AD cắt (O) tại E (E\(\ne\)A)
a,C/m:BE\(^2\)=AE.DE
b,Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại H,DO cắt BC tại F.C/m tứ giác CHOF nột tiếp
c,Gọi I là giao điểm của AD và CH.C/m I là trung điểm của CH
Giúp mình phần c nha m.n @Akai Haruma @nguyen thi vang @Nguyễn Huy Tú @Nhã Doanh ..
Lời giải:
a)
Vì $AB$ là đường kính của $(O)$ và $E$ là điểm nằm trên $(O)$ nên tam giác $AEB$ vuông tại $E$
\(\Rightarrow AE\perp EB\Leftrightarrow AD\perp EB\)
$DB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên \(DB\perp OB\Leftrightarrow BD\perp AB\)
Tam giác vuông $ABD$ vuông tại $B$ có đường cao $BE$ nên sử dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông suy ra \(BE^2=AE.DE\)
b)
Có :\(\left\{\begin{matrix} CH\parallel BD\\ BD\perp AB\end{matrix}\right.\Rightarrow CH\perp AB\Rightarrow \widehat{CHO}=90^0\)
Mặt khác, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì
\(\left\{\begin{matrix} CD=DB\rightarrow \triangle \text{CDB cân}\\ \text{DO là tia phân giác góc CDB}\end{matrix}\right.\) , do đó $DO$ cũng đồng thời là đường cao của tam giác $CDB$
\(\Rightarrow DO\perp BC\Rightarrow \widehat{CFO}=90^0\)
Tứ giác $CHOF$ có hai góc đối đỉnh \(\widehat{CHO}+\widehat{CFO}=90^0+90^0=180^0\) nên là tgnt.
c) \(T\equiv CB\cap AD\)
Ta có \(CI\parallel BD\Rightarrow \widehat{ICT}=\widehat{CBD}\) (slt) ; mà \(\widehat{CBD}=\widehat{BCD}\)
\(\Rightarrow \widehat{ICT}=\widehat{BCD}=\widehat{TCD}\Rightarrow CT\) là tia phân giác góc \(ICD\)
Mà \(CT\perp AC\) do \(CB\perp AC\Rightarrow AC\) là tia phân giác ngoài góc \(ICD\)
Theo tính chất đường phân giác ngoài:
\(\frac{AI}{AD}=\frac{IC}{CD}=\frac{IC}{BD}\) (1)
Mà theo định lý Thales với \(IH\parallel BD\): \(\frac{IH}{BD}=\frac{AI}{AD}\) (2)
Từ (1); (2) \(\Rightarrow \frac{IC}{BD}=\frac{IH}{BD}\Rightarrow IC=IH\) nên $I$ là trung điểm $CH$