Gọi giao điểm EK và BC là S.
a) Xét ΔEAB có:
\(\widehat{EAB}\) \(=90^0\)
\(AH\perp EB\)
\(\Rightarrow\) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
\(\Rightarrow AE^2=EH\cdot EB\) (3)
Xét ΔEDC có:
\(\widehat{EDC}\) \(=90^0\)
\(DI\perp EC\)
\(\Rightarrow\) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
\(\Rightarrow ED^2=EI\cdot EC\) (4)
Vì E là trung điểm AD
\(\Rightarrow AE=ED\) \(\Leftrightarrow AE^2=ED^2\) (5)
Từ (3),(4) và (5) \(\Rightarrow EI\cdot EC=EH\cdot EB\)
\(\Leftrightarrow\frac{EI}{EB}=\frac{EH}{EC}\)
Xét ΔEIH∼ΔEBC vì:
\(\widehat{CEB}:chung\)
\(\frac{EI}{EB}=\frac{EH}{EC}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{EHI}=\widehat{ECB}\) hay \(\widehat{EHI}=\widehat{ICB}\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác IHBC nội tiếp đường tròn (theo dhnb tứ giác nội tiếp)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{HIE}=\widehat{EBC}\) hay \(\widehat{EBS}=\widehat{HIE}\)
b) Vì \(AH\perp EB\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{AHB}\) \(=90^0\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{EHI}\) \(=90^0\) (hai góc đối đỉnh) (1)
Vì \(DI\perp EC\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DIC}\) \(=90^0\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{EIK}\) \(=90^0\) (hai góc đối đỉnh) (2)
Cộng (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\widehat{EHK}+\widehat{EIK}\) \(=90^0+90^0=180^0\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác EHKI nội tiếp đường tròn (theo dhnb tứ giác nội tiếp)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{HEK}=\widehat{HIK}\) hay \(\widehat{BES}=\widehat{HIK}\)
Ta có: \(\widehat{HIK}+\widehat{EHK}=\widehat{EIK}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\widehat{HIK}+\widehat{EHK}\) \(=90^0\)
(mà \(\widehat{BES}=\widehat{HIK};\widehat{EHK}=\widehat{EBS}\) )
\(\Leftrightarrow\) \(\widehat{BES}+\widehat{EBS}\) \(=90^0\)
\(\Rightarrow BS\perp ES\) hay \(EK\perp BC\) (đpcm)