Cho đường tròn (o) và dây bc khác đường kính. Lấy A thuộc cung BC lớn sao cho AB>AC. Các đường cao AD BE CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M
a) Cm BFEC nội tiếp
b) EB là phân giác góc DEF
c) gọi I là trung điểm của BC CM IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MED
a) Vì BE⊥AC
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BEC}\) \(=90^0\) (1)
Vì FC⊥AB
\(\Rightarrow\) \(\widehat{CFB}\) \(=90^0\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\widehat{BEC}=\widehat{CFB}\) \(\left(=90^0\right)\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác FECB nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Vì tứ giác FECB nội tiếp đường tròn (cmtrn)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{FEB}=\widehat{FCB}\)
hay \(\widehat{FEB}=\widehat{HCD}\) (3)
Vì AD⊥BC
\(\Rightarrow\) \(\widehat{ADC}\) \(=90^0\) hay \(\widehat{HDC}\) \(=90^0\)
Theo CM a): \(\widehat{BEC}\) \(=90^0\) hay \(\widehat{HEC}\) \(=90^0\)
Ta có: \(\widehat{HDC}+\widehat{HEC}\) \(=90^0+90^0=180^0\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác HECD nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu nhật biết tứ giác nội tiếp)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{HED}=\widehat{HCD}\)
hay \(\widehat{BED}=\widehat{HCD}\) (4)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\) \(\widehat{FEB}=\widehat{BED} (=\widehat{HCD})\)
\(\Rightarrow\) EB là phân giác \(\widehat{FED}\)