Cho đường tròn ( O ; R ) đường kính BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm A . Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với AB . Kẻ tiếp tuyến AM với đường tròn ( O ; R ) ( M là tiếp điểm ) . Đường thẳng CM cắt đường thẳng d tại E . Đường thẳng EB cắt đường tròn ( O ; R ) tại N . Chứng minh rằng :
a/ Tứ giác ABME nội tiếp một đường tròn .
b/ \(\widehat{AMB}=\widehat{ACN}\)
c/ AN là tiếp tuyến của đường tròn ( O ; R )
HELP ME !!!!
a) Có:\(\widehat{BMC}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
=> \(\widehat{BME}=90^o\)
Lại có : \(AB\perp AE\Rightarrow\widehat{BAE}=90^o\)
tứ giác ABME có: \(\widehat{BAE}+\widehat{BME}=90^o+90^o=180^o\)
=> tứ giác ABME nội tiếp.
b) Có: \(\widehat{BNC}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
hay \(\widehat{ENC}=90^o\)
=>\(\widehat{EAC}=\widehat{ENC}=90^o\)
tứ giác AECN có A và N là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn đoạn EC dưới một góc 90o không đổi.
=> tứ giác AECN nội tiếp
=> góc AEN = góc ACN (cùng chắn cung AN) (1)
tứ giác ABME nội tiếp (cmt)
=> góc AEB = góc AMB (cùng chắn cung AB) (2)
từ (1) và (2) suy ra góc AMB = góc ACN
c) có \(\widehat{AMB}=\widehat{BCM}\)( cùng chắn cung BM)
mà \(\widehat{AMB}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{BCM}=\widehat{ACN}\) (3)
tứ giác AECN nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{ANB}=\widehat{BCM}\)( cùng chắn cung AE) (4)
từ (3) và (4) suy ra :
\(\widehat{ANB}=\widehat{ACN}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BN}\)
=> AN là tiếp tuyến của (O;R)