Bài 1: Căn bậc hai

LQ

Cho các số thực dương không âm thỏa mãn a+b+c=3.Cm

\(a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\le5\)

DN
16 tháng 3 2020 lúc 22:05

\(VT=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)

\(=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}+b\sqrt{\left(c+1\right)\left(c^2-c+1\right)}+c\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)

\(\le\frac{a\left(b^2+2\right)}{2}+\frac{b\left(c^2+2\right)}{2}+\frac{c\left(a^2+2\right)}{2}\left(bdtCo-si\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(2a+2b+2c+ab^2+bc^2+ca^2\right)\)

\(=3+\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{2}\)

giả sử b là số ở giữa

\(\Rightarrow\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow b^2+ca\le bc+ab\)

\(\Leftrightarrow ab^2+ca^2\le abc+a^2b\)

\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le b\left(a+c\right)^2=\frac{\left(b+b\right)\left(a+c\right)\left(c+a\right)}{2}\le\frac{\left(2a+2b+2c\right)^3}{54}=4\)

\(\Rightarrow VT\le3+\frac{4}{2}=5\left(dpcm\right)\)

dấu = xảy ra khi \(b=1,c=2,a=0\) và hoán vị

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
MS
Xem chi tiết
PP
Xem chi tiết
HT
Xem chi tiết
MS
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
LQ
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
SN
Xem chi tiết
NT
Xem chi tiết