Question

B1: Rút gọn biểu thức sao

P=\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{23}+\sqrt{25}}\)

B2: Cho số dương a,b,c thỏa mãn a>b. CMR \(\sqrt{a+c}-\sqrt{a}< \sqrt{b+c}-\sqrt{b}\)

Answer 1

Bài 1:

Xét số hạng tổng quát \(\frac{1}{\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k+3}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2k+3}-\sqrt{2k+1}\right)\) (với k thuộc N)

Áp dụng vào \(P=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+...+\sqrt{25}-\sqrt{23}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{25}-1\right)=2\)

Bài 2: BđT \(\Leftrightarrow\sqrt{b}-\sqrt{a}< \sqrt{b+c}-\sqrt{a+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}< \frac{b-a}{\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}}\Leftrightarrow\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}>\frac{a-b}{\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}}\)

Điều này đúng do a > b nên a - b > 0. Mặt khác \(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}>\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (áp dụng tính chất \(\sqrt{a}< \sqrt{a+m}\left(\text{chị tự chứng minh}\right)\text{với a, m}\ge0\)

Answer 2

\(P=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+......+\frac{1}{\sqrt{23}+\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}+.......+\frac{\sqrt{25}-\sqrt{23}}{\left(\sqrt{23}+\sqrt{25}\right)\left(\sqrt{25}-\sqrt{23}\right)}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+......+\frac{\sqrt{25}-\sqrt{23}}{2}=\frac{\left(\sqrt{25}-\sqrt{23}\right)+\left(\sqrt{23}-\sqrt{21}\right)+......+\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}\) \(=\frac{\sqrt{25}-1}{2}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2\)