Question

Cho a>0, b>0 và ab=1

Chứng minh \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+\frac{8}{a^2+b^2+6}\ge3\)

Answer 1

\(A=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+\frac{8}{a^2+b^2+6}=\frac{a^3+b^3}{ab}+\frac{8}{a^2+b^2+6}=a^3+b^3+\frac{8}{a^2+b^2+6}\)

\(A=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)+\frac{8}{a^2+b^2+6}\ge2\sqrt{ab}\left(a^2+b^2-1\right)+\frac{8}{a^2+b^2+6}\)

\(A\ge2\left(a^2+b^2-1\right)+\frac{8}{a^2+b^2+6}=2a^2+2b^2-2+\frac{8}{a^2+b^2+6}\)

\(A\ge\frac{a^2+b^2+6}{8}+\frac{8}{a^2+b^2+6}+\frac{15}{8}\left(a^2+b^2\right)-\frac{11}{4}\)

\(A\ge2\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2+6\right).8}{8\left(a^2+b^2+6\right)}}+\frac{15}{8}.2ab-\frac{11}{4}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)