Câu 1: Cho \(\dfrac{a^{2016}+b^{2016}}{c^{2016}+d^{2016}}=\dfrac{a^{2016}-b^{2016}}{c^{2016}-d^{2016}}\). Chứng minh: \(\dfrac{a}{b}=+-\dfrac{c}{d}\)
Câu 2: Cho dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{2a+b+c+d}{a}=\dfrac{a+2b+c+d}{b}=\dfrac{a+b+2c+d}{c}=\dfrac{a+b+c+2d}{d}\). Tính giá trị biểu thức: M = \(\dfrac{a+b}{c+d}+\dfrac{b+c}{d+a}+\dfrac{c+d}{a+b}+\dfrac{d+a}{b+c}\)
Câu 3: Tìm x, y ϵ N biết: \(25-y^2=8\left(x-2009\right)^2\)
Câu 4: Tìm x biết: \(\left|x^2+\left|6x-2\right|\right|=x^2+4\)
Câu 5: Tìm các số nguyên thoả mãn: \(x-y+2xy=7\)
Câu 6: Cho \(a>2,b>2\). Chứng minh: \(ab>a+b\)
Câu 1:
\(\frac{a^{2016}+b^{2016}}{c^{2016}+d^{2016}}=\frac{a^{2016}-b^{2016}}{c^{2016}-d^{2016}}\)
\(\Rightarrow (a^{2016}+b^{2016})(c^{2016}-d^{2016})=(a^{2016}-b^{2016})(c^{2016}+d^{2016})\)
\(\Leftrightarrow 2(bc)^{2016}=2(ad)^{2016}\Rightarrow (bc)^{2016}=(ad)^{2016}\)
\(\Rightarrow (\frac{a}{b})^{2016}=(\frac{c}{d})^{2016}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}=\pm \frac{c}{d}\) (đpcm)
Câu 2:
Nếu $a+b+c+d=0$ thì: \(\left\{\begin{matrix} a+b=-(c+d)\\ b+c=-(d+a)\\ c+d=-(a+b)\\ d+a=-(b+c)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow M=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-4\)
Nếu $a+b+c+d\neq 0$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}=\frac{5(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=5\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2a+b+c+d=5a\\ a+2b+c+d=5b\\ a+b+2c+d=5c\\ a+b+c+2d=5d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b+c+d=3a(1)\\ a+c+d=3b(2)\\ a+b+d=3c(3)\\ a+b+c=3d(4)\end{matrix}\right.\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow b+a+2(c+d)=3(a+b)\Rightarrow c+d=a+b\)
\(\Rightarrow \frac{a+b}{c+d}=1\)
Tương tự: \(\frac{b+c}{d+a}=\frac{c+d}{a+b}=\frac{d+a}{b+c}=1\)
\(\Rightarrow M=1+1+1+1=4\)
Câu 3:
Vì \(25-y^2=8(x-2009)^2\) chẵn nên $y$ phải là số lẻ.
Mặt khác: \(25-y^2=8(x-2009)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{N}\)
\(\Rightarrow y^2\leq 25\). Với \(y\in\mathbb{N}; y\) lẻ suy ra:
\(y\in\left\{1;3;5\right\}\)
Nếu \(y=1\Rightarrow 8(x-2009)^2=25-1^2=24\Rightarrow (x-2009)^2=3\) (không t/m)
Nếu \(y=3\Rightarrow 8(x-2009)^2=25-3^2=16\)
\(\Rightarrow (x-2009)^2=2\) (không t/m)
Nếu $y=5$ thì \(8(x-2006)^2=25-5^2=0\Rightarrow x-2006=0\Rightarrow x=2006\) (t.m)
Vậy $(x,y)=(2006,5)$
Câu 4:
Ta thấy:
\(x^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}; |6x-2|\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow x^2+|6x-2|\geq 0\Rightarrow |x^2+|6x-2||=x^2+|6x-2|\)
Do đó: \(x^2+|6x-2|=x^2+4\)
\(\Rightarrow |6x-2|=4\Rightarrow \left[\begin{matrix} 6x-2=4\\ 6x-2=-4\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ x=\frac{-1}{3}\end{matrix}\right.\)
Câu 5:
Ta có: \(x-y+2xy=7\)
\(\Leftrightarrow x(1+2y)=7+y\)
Với mọi $y$ nguyên thì $2y+1\neq 0$. Do đó: \(x=\frac{7+y}{1+2y}\)
Để \(x\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{7+y}{1+2y}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow 7+y\vdots 1+2y\)
\(\Rightarrow 2(7+y)\vdots 1+2y\)
\(\Rightarrow 13+(1+2y)\vdots 1+2y\Rightarrow 13\vdots 1+2y\)
\(\Rightarrow 1+2y\in \left\{\pm 1;\pm 13\right\}\)
\(\Rightarrow y\in \left\{-1; 0; -7; 6\right\}\)
\(\Rightarrow x\in \left\{-6; 7; 0; 1\right\}\) (tương ứng với lần lượt các giá trị trên của $y$)
Vậy \((x,y)=(-6;-1); (7;0); (0;-7); (1;6)\)
Câu 6:
Vì $a,b>2$ nên:
\(ab=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}> \frac{2.b}{2}+\frac{a.2}{2}=a+b\) (đpcm)
Ta có 25-y2=8(x-2009)2
Dễ dàng ta thấy vế phải luôn dương.Nên vế trái phải dương nghĩa là:
25-y2>0
Mặt khác do 8(x-2009)2 chia hết cho 2 như vậy vế phải luôn chẵn đó y2 phải lẻ
Do vậy chỉ tồn tại các giá trị sau
y2=1 (x-2009)2=3(loại)
y2=9 (x-2009)2=2(loại)
y2=25 (x-2009)2=0➞x=2009
vậy pt có nghiệm nguyên(2009,-5)
2009,5
Ta có 25-y2=8(x-2009)2
Dễ dàng ta thấy vế phải luôn dương.Nên vế trái phải dương nghĩa là:
25-y2>0
Mặt khác do 8(x-2009)2 chia hết cho 2 như vậy vế phải luôn chẵn đó y2 phải lẻ
Do vậy chỉ tồn tại các giá trị sau
y2=1 (x-2009)2=3(loại)
y2=9 (x-2009)2=2(loại)
y2=25 (x-2009)2=0➞x=2009
vậy pt có nghiệm nguyên(2009,-5)
2009,5