Bài 1
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AD là đường trung tuyến. Qua D kẻ DE vuông góc với AB tại E và DF vuông góc với AC tại F
a)Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Biết BC = 20cm. Tính AD?
Bài 2
Cho hình thang ABCD vuông góc tại A . Đáy AD=2BC, đường chéo AC là phân giác A . Vẽ CE song song AB . Chứng minh
a. ABCE là hình vuông
b.BCDE là hình bình hành
c. Tam giác CAD vuông cân
Bài 3
Cho tam giác ABC cân tại A , đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AC, K là điểm đối xứng với M qua I
a. Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao?
b. Tứ giác AKMB là hình gì vì sao
c. tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AMCK là hình vuông
1) a. Có DE vuông góc với AB, AC vuông góc với AB => DE//AC
Có DF vuông góc với AC, AB vuông góc với AC => DF//AB
Xét tam giác ABC có DB=DC và DE//AC => BE=EA=1/2AB
DB=DC và DF//AB => AF=FC=1/2AC
mà AB=AC (tam giác ABC vuông cân tại A) =>BE=EA=AF=FC
Xét AEDF có: ^E,^A,^F vuông => AEDF là hình chữ nhật
Hình chữ nhật AEDF có EA=AF (cmt)
=>AEDF là hình vuông
b. Có tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AD
=> AD=1/2BC=1/2.20=10cm
2) a. Xét ABCD có BC//AE và AB//CE
=> ABCD là hình bình hành
Hình bình hành ABCD có AC là phân giác góc A
=> ABCD là hình thoi
Hình thoi ABCD có góc A vuông
=> ABCD là hình vuông
b. Hình vuông ABCD có BC=AE mà BE=1/2 AD
=>BC=AE=ED=1/2AD
Xét BCDE có BC//ED và BC=DE
=> BCDE là hình bình hành
c. Hình vuông ABCD có AC vuông góc với BE và AC=BE
Có hình bình hành BCDE có BE//CD và BE=CD
Có AC=BE mà BE=CD => AC=CD
Có BE//CD mà BE vuông góc với AC => CD vuông góc với AC
Xét tam giác ACD có AC=CD (cmt) và góc vuông C
=> tam giác ACD là tam giác vuông cân tại C
3) a. Tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến
=> AM cũng là đường cao => góc M vuông
Xét AMCK có IA=IC và IK=IM =>AMCK là hình bình hành
Hình bình hành AMCK có góc M vuông
=> AMCK là hình chữ nhật
b. Hình chữ nhật AMCK có AK//MC hay AK//BM
và AK=MC mà MC=MB=>AK=MB
Xét AKMB có AK//MB và AK=MB (cmt)
=> AKMB là hình bình hành
c. Để hình chữ nhật AMCK là hình vuông thì AM=MC
Xét tam giác ABC cân tại A có đường cao AM =MC=1/2BC
=>tam giác ABC vuông cân tại A