1. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt: 4sin2x + \(3\sqrt{3}\) sin2x - 2cos2x = 4 là?
2. Pt: 6sin2x + \(7\sqrt{3}\) sin2x - 8cos2x = 6 có các nghiệm là?
3. Pt: sinx + \(\sqrt{3}\) cosx = 1 có các nghiệm dạng x = \(\alpha\)+ k2\(\pi\); x = \(\beta\) + k2\(\pi\) ; \(-\pi< \alpha,\beta< \pi\) , k \(\varepsilon Z\). Tính \(\alpha.\beta\)
4. Số điểm biểu diễn nghiệm của pt: cos2x - \(\sqrt{3}sin2x\) = 1 + 2sin2x trên đường tròn lượng giác là?
5. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt: 4sin2x + \(3\sqrt{3}sin2x-2cos^2x=4\) là?
6. Pt: \(cos2x+sinx=\sqrt{3}\left(cosx-sin2x\right)\) có bn nghiệm \(x\varepsilon\left(0;2020\right)\)?
7. Pt: \(\left(sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}\right)^2+\sqrt{3}cosx=2\) có nghiệm dương nhỏ nhất là a và nghiệm âm lớn nhất là b thì a + b là?
8. Pt: \(3sin3x+\sqrt{3}cos9x=2cosx+4sin^33x\) có số nghiệm trên \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) là?
9. Tìm m để pt: \(sin2x+cos^2x=\frac{m}{2}\) có nghiệm là?
10. Cho pt: \(\left(m^2+2\right)cos^2x-2msin2x+1=0\). Để pt có nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số m là?
11. Tìm tập giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hs sau: \(y=\frac{sin^22x+3sin4x}{2cos^22x-sin4x+2}\)
1.
\(\Leftrightarrow4\left(\frac{1-cos2x}{2}\right)+3\sqrt{3}sin2x-2\left(\frac{1+cos2x}{2}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3}sin2x-cos2x=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\2x-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+l2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k\pi\\x=\frac{\pi}{2}+l\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Nghiệm dương nhỏ nhất \(x=\frac{\pi}{6}\)
2.
\(\Leftrightarrow6\left(\frac{1-cos2x}{2}\right)+7\sqrt{3}sin2x-8\left(\frac{1+cos2x}{2}\right)=6\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3}sin2x-cos2x=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\2x-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k\pi\\x=\frac{\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)
3.
\(sinx+\sqrt{3}cosx=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\alpha=-\frac{\pi}{6}\\\beta=\frac{\pi}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\alpha\beta=-\frac{\pi^2}{12}\)
4.
\(\Leftrightarrow\frac{1+cos2x}{2}-\sqrt{3}sin2x=1+1-cos2x\)
\(\Leftrightarrow3cos2x-2\sqrt{3}sin2x=3\) (chà số liệu xấu)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{\sqrt{21}}cos2x-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{21}}sin2x=\frac{3}{\sqrt{21}}\)
Đặt \(\frac{3}{\sqrt{21}}=cosa\) với \(a\in\left(0;\pi\right)\)
\(\Rightarrow cos2x.cosa-sin2a.sina=cosa\)
\(\Leftrightarrow cos\left(2x+a\right)=cosa\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+a=a+k2\pi\\2x+a=-a+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=-a+k\pi\end{matrix}\right.\)
Có 4 điểm biểu diễn
5.
Nhìn lại bài 1, hình như ko khác dù chỉ 1 chữ
6.
\(\Leftrightarrow cos2x+\sqrt{3}sin2x=\sqrt{3}cosx-sinx\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x=\frac{\sqrt{3}}{2}cosx-\frac{1}{2}sinx\)
\(\Leftrightarrow cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-\frac{\pi}{3}=x+\frac{\pi}{6}+k2\pi\\2x-\frac{\pi}{3}=-x-\frac{\pi}{6}+l2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\frac{\pi}{18}+\frac{l2\pi}{3}\end{matrix}\right.\)
\(0< x< 2020\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< \frac{\pi}{2}+k2\pi< 2020\\0< \frac{\pi}{18}+\frac{l2\pi}{3}< 2020\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le k\le321\\0\le l\le964\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) có \(322+965=1287\) nghiệm
7.
\(\Leftrightarrow sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}cosx=2\)
\(\Leftrightarrow1+sinx+\sqrt{3}cosx=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{\pi}{2}\\b=-\frac{\pi}{6}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b=\frac{\pi}{3}\)
8.
\(\Leftrightarrow3sin3x-4sin^33x+\sqrt{3}cos9x=2cosx\)
\(\Leftrightarrow sin9x+\sqrt{3}cos9x=2cosx\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}sin9x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos9x=cosx\)
\(\Leftrightarrow cos\left(9x-\frac{\pi}{6}\right)=cosx\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}9x-\frac{\pi}{6}=x+k2\pi\\9x-\frac{\pi}{6}=-x+l2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{48}+\frac{k\pi}{4}\\x=\frac{\pi}{60}+\frac{l\pi}{5}\end{matrix}\right.\)
\(0< x< \frac{\pi}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< \frac{\pi}{48}+\frac{k\pi}{4}< \frac{\pi}{2}\\0< \frac{\pi}{60}+\frac{l\pi}{5}< \frac{\pi}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le k\le1\\0\le l\le2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) có \(2+3=5\) nghiệm
9.
\(\Leftrightarrow sin2x+\frac{1+cos2x}{2}=\frac{m}{2}\)
\(\Leftrightarrow2sin2x+cos2x=m-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{5}}sin2x+\frac{1}{\sqrt{5}}cos2x=\frac{m-1}{\sqrt{5}}\)
Đặt \(\frac{2}{\sqrt{5}}=cosa\) với \(a\in\left(0;\pi\right)\)
\(\Rightarrow sin2x.cosa+cos2x.sina=\frac{m-1}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(2x+a\right)=\frac{m-1}{\sqrt{5}}\)
Do \(-1\le sin\left(2x+a\right)\le1\)
\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(-1\le\frac{m-1}{\sqrt{5}}\le1\)
\(\Rightarrow1-\sqrt{5}\le m\le1+\sqrt{5}\)
10.
\(\Leftrightarrow\frac{\left(m^2+2\right)}{2}\left(1+cos2x\right)-2msin2x=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2+2\right)cos2x-4m.sin2x=-4-m^2\)
Áp dụng điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất, pt có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\left(m^2+2\right)^2+16m^2\ge\left(-4-m^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow10m^2\ge12\)
\(\Leftrightarrow m^2\ge\frac{6}{5}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\sqrt{\frac{6}{5}}\\m\le-\sqrt{\frac{6}{5}}\end{matrix}\right.\)
11.
\(y=\frac{2sin^22x+6sin4x}{4cos^22x-2sin4x+4}=\frac{1-cos4x+6sin4x}{2cos4x-2sin4x+6}\)
\(\Leftrightarrow2y.cos4x-2y.sin4x+6y=1-cos4x+6sin4x\)
\(\Leftrightarrow\left(2y+1\right)cos4x-\left(2y+6\right)sin4x=1-6y\)
Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:
\(\left(2y+1\right)^2+\left(2y+6\right)^2\ge\left(1-6y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow7y^2-10y-9\le0\)
\(\Rightarrow\frac{5-2\sqrt{22}}{7}\le y\le\frac{5+2\sqrt{22}}{7}\)
