Bài 5: Ôn tập chương Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân.

Xét cấp số cộng (u_n) với u_n+1 = u_n+ d, ta có: u_n+1 – u_n = d

+ u_n+1 > u_n nếu d > 0

+ u_n+1 < u_n nếu d < 0

Vậy cấp số cộng (u_n)

+ Tăng nếu d > 0

+ Giảm nếu d < 0

Ta có: u_n= u₁.q^n-1

a) Nếu

\(\left\{{}\begin{matrix}q>0\\u_1< 0\end{matrix}\right.\Rightarrow u_n< 0\forall n\)

b) Nếu

\(\left\{{}\begin{matrix}q< 0\\u_1< 0\end{matrix}\right.\)

Thì u_n < 0 khi n – 1 chẵn và u_n > 0 khi n – 1 lẻ.

Gọi (u_n) và (a_n) là hai cấp số cộng có công sai lần lượt là \(d_1\) và d₂ và có cùng n số hạng.

Ta có:

u_n = u₁ + (n -1) d₁

a_n = a₁ + (n – 1)d₂

⇒ u_n + a_n = u₁ + a₁ + (n – 1).(d₁ + d₂)

Vậy u_n + a_n là cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ + a₁ và công sai là d₁ + d₂

Ví dụ:

1, 3, 5, 7 ,.... là cấp số cộng có công sai d₁ = 2

0, 5, 10, 15,.... là cấp số cộng có công sai d₂ = 5

⇒ 1, 8, 15, 22 ,... là cấp số cộng có công sai là d = d₁ + d₂ = 2 + 5 = 7

a) Với n = 1, ta có:

13ⁿ – 1 = 13¹ – 1 = 12 ⋮ 6

Giả sử: 13^k - 1 ⋮ 6 với mọi k ≥ 1

Ta chứng minh: 13^k+1 – 1 chia hết cho 6

Thật vậy:

13^k+1 – 1 = 13^k+1 – 13^k+ 13^k -1 = 12.13^k +13^k – 1

Vì : 12.13^k ⋮ 6 và 13^k – 1 ⋮ 6

Nên : 13^k+1 – 1 ⋮ 6

Vậy 13ⁿ -1 chia hết cho 6

b) Với n = 1, ta có: 3n³ + 15n = 18 ⋮ 9

Giả sử: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) Ta chứng minh: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) ⋮ 9

Thật vậy:

3(k + 1)³ + 15(k + 1) = 3. (k³ + 3k² + 3k + 1) + 15(k + 1)

= 3k³ + 9k² + 9k + 15k + 18

= 3k³ + 15k + 9(k² + k + 2)

Vì 3(k + 1)³ + 15(k + 1) (giả thiết quy nạp) và 9(k² + k + 2) ⋮ 9

Nên: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) ⋮ 9

Vậy: 3n³ + 15n chia hết cho 9 với mọi n ∈ N^*

a_n= a₁. q₁^n-1, q₁ là hằng số

b_n= \(b_1q_2^{n-1}\), q₂ là hằng số

Khi đó: a_n.b_n = = a₁. q₁^n-1. b₁. q₁^n-1 = (a₁b₁)(q₁q₂)^n-1

Vậy dãy số a_nb_n là một cấp số nhân có công bội : q = q₁q₂

Ví dụ:

1, 2, 4 ,... là cấp số nhân có công bội q₁ = 2

3, 9, 27, .... là cấp số nhân có công bội q₂ = 3

⇒ Suy ra: 3, 8, 108.. là cấp số nhân có công bội: q = q₁q₂ = 2.3 = 6

a) Ta có:

u₁ = 2, u₂ = 2u₁ – 1 = 3, u₃ = 2u₂ – 1= 5

u₄ = 2u₃ -1 = 9, u₅ = 2u₄ – 1= 10

b) Với n = 1, ta có: u₁ = 2^1-1 + 1 = 2 : đúng

Giả sử công thức đúng với n = k. Nghĩa là: u_k = 2^k-1 + 1

Ta chứng minh công thức cũng đúng với n = k + 1,

Nghĩa là chứng minh:

U^k+1 = 2^(k+1)-1 + 1 = 2^k + 1

Ta có: u_{k+ 1} = 2u_k – 1 = 2(2^{k -1}+ 1) -1 = 2.2^{k -1} + 2 – 1 = 2^k + 1 (đpcm)

Vậy u_n = 2^n-1 + 1 với mọi n ∈ N^*

Xét hiệu:

Suy ra: u_n là dãy số tăng (1)

Mặt khác:

Nên u_n là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta thấy khi n càng lớn thì u_n càng lớn nên u_n là dãy số không bị chặn (3)

Từ (1), (2), (3) ta có u_n là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b) Ta có:

u₁ = (-1)⁰.sin1 = sin 1 > 0

⇒ u₁ > u₂ và u₂ < u₃

Vậy u_n là dãy số tăng không đơn điệu.

Ta lại có:

Vậy u_n là dãy số bị chặn và không đơn điệu.

c) Ta có:

Xét hiệu:

Ta có:

⇒ u_n là dãy số giảm (1)

Mặt khác:

Suy ra: u_n là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta lại có: với n ≥ 1 thì

Nên

Suy ra: u_n là dãy số bị chặn trên (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: u_n là dãy số giảm và bị chặn

a) Ta có:

Vậy số hạng đầu u₁ = 8, công sai d = -3

b) Ta có:

(1) ⇔ 2u₁ + 20d = 60 ⇔ u₁ = 30 – 10d thế vào (2)

(2) ⇔[(30 – 10D) + 3d]² + [(30 – 10d) + 11d]² = 1170

⇔ (30 – 7d)² + (30 + d)² = 1170

⇔900 – 420d + 49d² + 900 + 60d + d² = 1170

⇔ 50d² – 360d + 630 = 0

Vậy

hay

a)

Lấy (2) chia (1): q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ u₁.2⁵ = 192 ⇔ u₁ = 6

Vậy u₁ = 6 và q = 2

b) Ta có:

Lấy 2 chia 1: q = 2 thế vào (1)

(1) ⇔2u₁(4 – 1) = 72 ⇔ u₁ = 12

Vậy u₁ = 12 và q = 2

c) Ta có:

Lấy (2) chia (1): q = 2 thế vào (1)

(1) ⇔ 2u₁ (1 + 8 – 4) = 10 ⇔ u₁ = 1

Vậy u₁ = 1 và q = 2

Theo giả thiết ta có: A, B, C, D là một cấp số nhân và C = 4A

Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

B² = AC = A.(4A) = 4A² ⇒ B = 2A

C² = BD ⇒ (4A)² = (2A).D ⇒ D = 8A

Mặt khác: A + B + C + D = 360⁰

⇒ A + 2A + 4A + 8A = 360⁰

⇒ A = 24⁰ ⇒ B = 48⁰, C = 96⁰, D = 192⁰.