Bài 4: Cấp số nhân

a) Với mọi ∀n ε N^*, ta có ( . 2ⁿ⁺¹) : ( . 2ⁿ) = 2.

Suy ra u_n+1 = u_n.2, với n ε N^*

Vậy dãy số đã chp là một câp số nhân với u₁ = , q = 2.

b) Với mọi ∀n ε N^*, ta có u_n+1 = =u_n.

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với u₁ = , q =

c) Với mọi ∀n ε N^*, ta có u_n+1 = .

Trong bài này ta áp dụng công thức tinh số hạng tổng quát u_n = u₁.q^n-1, biết hai đại lượng, ta sẽ tìm đại lượng còn lại:

a) q = 3.

b) u₁ =

c) Theo đề bài ta có u_n = 192, từ đó ta tìm được n. Đáp số: n =7

a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:

u₃ = 3 = u₁.q² và u₅ = 27 = u₁.q⁴.

Vì 27 = (u₁q²).q² = 3.q² nên q² = 9 hay q = ±3.

Thay q² = 9 vào công thức chứa u₃, ta có u₁ = .

- Nếu q = 3, ta có cấp số nhân: , 1, 3, 9, 27.

- Nếu q = -3, ta có cáp số nhân: , -1, 3, -9, 27.

b) Áp dụng công thức tính số hạng tỏng quát từ giả thiết, ta có:

hay

Từ hệ trên ta được: 50.q = 25 => q = .

Và u₁ = .

Ta có cấp số nhân .

Giả sử có cấp số nhân: u_1, u₂, u₃, u₄, u₅,u_6.

Theo giả thiết ta có:

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 31. (1)

và u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 62. (2)

Nhân hai vế của (1) với q, ta được: q.u₁ + q.u₂ + q.u₃ +q. u₄ +q. u₅ = 31.q

hay u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q

Suy ra 62 = 31.q hay q = 2.

Ta có S₅ = 31 = nên suy ra u₁ = 1.

Vậy ta có cấp số nhân 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là N. Vì tỉ lệ tăng dân số là 1,4% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4%.N

Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là

N + 1,4%.N = 101,4%.N = .

Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.

N, , , ....

Vậy nếu N = 1,8 triệu người, áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì sau 5 năm số dân của tỉnh là ≈ 1,9 (triệu người)

và sau 10 năm sẽ là ≈ 2,1 (triệu người)

Xét dãy số (a_n), ta có a₁ = 4.

Giả sử hình vuông cạnh C_n có độ dài cạnh là a_n. Ta sẽ tính cạnh a_n+1 của hình vuông C_n+1. Theo hình 9, áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:

a_n+1 = với n ε N^*.

Vậy dãy số (a_n) là cấp số nhân với số hạng đầu là a₁ = 4 và công bội q =

a) Có \(u_n=\left(-3\right)^{2n-1}=\left(-3\right)^2.\left(-3\right)^{2n-3}\)\(=9.2^{2\left(n-1\right)-1}=9.u_{n-1}\)
Vì vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số nhân với \(u_1=\left(-3\right)^{2.1-1}=-3\) và \(q=9\).
b) Công thức truy hồi của dãy số \(\left(u_n\right)\) là \(u_n=9u_{n-1}\).
c) Có \(u_n=\left(-3\right)^{2n-1}=-19683=\left(-3\right)^9\)\(\Leftrightarrow2n-1=9\)\(\Leftrightarrow n=5\).
Vậy số hạng thứ 5 bằng \(-19683\).

a)
Gọi q là công bội của \(\left(u_n\right)\). Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1q^4=51\\u_1q+u_1q^5=102\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{u_1+u_1q^4}{u_1q_1+u_1q^5}=\dfrac{51}{102}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1+q^4}{q+q^5}=\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1+q^4}{q\left(1+q^4\right)}=\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow q=2\).
Suy ra: \(u_1+2^4u_1=51\)\(\Leftrightarrow17u_1=51\)\(\Leftrightarrow u_1=3\).
b) \(S_n=\dfrac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\)\(\dfrac{3\left(1-2^n\right)}{1-2}=3\left(2^n-1\right)=3069\)
\(\Leftrightarrow2^n-1=1023\)\(\Leftrightarrow2^n=1024=2^{10}\)\(\Leftrightarrow n=10\).
Vậy tổng của 10 số hạng đầu tiên bằng 10.
c)
Có \(u_1.q^{n-1}=3.2^{n-1}=12288\)\(\Leftrightarrow2^{n-1}=4096=2^{12}\)\(\Leftrightarrow n-1=12\)\(\Leftrightarrow n=13\).
Vậy số hạng thứ 13 bằng 12 288.

a) \(u_n=u_1.q^{n-1}=u_1.2^{n-1}\)
\(S_n=\dfrac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\dfrac{u_1\left(1-2^n\right)}{1-2}=u_1\left(2^n-1\right)\);
\(\dfrac{S_n}{u_n}=\dfrac{u_1\left(2^n-1\right)}{u_1.2^{n-1}}=\dfrac{2^n-1}{2^{n-1}}=2-\dfrac{1}{2^{n-1}}=\dfrac{63}{32}\)
Vì vậy \(\dfrac{1}{2^{n-1}}=\dfrac{1}{32}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2^{n-1}}=\dfrac{1}{2^5}\)\(\Leftrightarrow n-1=5\Leftrightarrow n=6\).
b)
\(u_n=2.q^{n-1}=\dfrac{1}{8}\)\(\Rightarrow q^{n-1}=\dfrac{1}{16}\)
\(S_n=\dfrac{2\left(1-q^n\right)}{1-q}=\dfrac{2\left(1-q.q^{n-1}\right)}{1-q}=\dfrac{2\left(1-\dfrac{1}{16}q\right)}{1-q}=\dfrac{31}{8}\);
Suy ra \(q=-1\).

Gọi số hạng đầu và công bội của cấp số nhân là: \(u_1;q\).
a) Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1q^4-u_1=15\\u_1q^3-u_1q=6\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{u_1\left(q^4-1\right)}{u_1\left(q^3-q\right)}=\dfrac{15}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(q^2-1\right)\left(q^2+1\right)}{q\left(q^2-1\right)}=\dfrac{15}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{q^2+1}{q}=\dfrac{15}{6}\)
\(\Leftrightarrow6\left(q^2+1\right)=15q\)\(\Leftrightarrow6q^2-15q+6=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}q=2\\q=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\).
Với \(q=2\).
Suy ra: \(u_1\left(q^4-q\right)=15\Rightarrow u_1=\dfrac{15}{q^4-q}=\dfrac{15}{14}\).
Với \(q=\dfrac{1}{2}\)
Suy ra \(u_1=\dfrac{15}{q^4-q}=\dfrac{-240}{7}\).