Xét hiệu:
un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗
Suy ra: un là dãy số tăng (1)
Mặt khác: un=n+1n≥2√n.1n=2∀n∈N∗un=n+1n≥2n.1n=2∀n∈N∗
Nên un là dãy số bị chặn dưới (2)
Ta thấy khi n càng lớn thì un càng lớn nên un là dãy số không bị chặn (3)
Từ (1), (2), (3) ta có un là dãy số tăng và bị chặn dưới.
b) Ta có:
u1 = (-1)0.sin1 = sin 1 > 0
u2=(−1)1.sin12=−sin12<0u3=(−1)2.sin13=sin13>0u2=(−1)1.sin12=−sin12<0u3=(−1)2.sin13=sin13>0
⇒ u1 > u2 và u2 < u3
Vậy un là dãy số tăng không đơn điệu.
Ta lại có:
|un|=|(−1)n−1.sin1n|=|sin1n|≤1⇔−1≤un≤1|un|=|(−1)n−1.sin1n|=|sin1n|≤1⇔−1≤un≤1
Vậy un là dãy số bị chặn và không đơn điệu.
c) Ta có:
un=√n+1−√n=n+1−n√n+1+√n=1√n+1+√nun=n+1−n=n+1−nn+1+n=1n+1+n
Xét hiệu:
un+1−un=1√(n+1)+1+√n+1−1√n+1+√n=1√n+2+√n+1−1√n+1+√nun+1−un=1(n+1)+1+n+1−1n+1+n=1n+2+n+1−1n+1+n
Ta có:
{√n+2>√n+1√n+1>√n⇒√n+2+√n+1>√n+1+√n{n+2>n+1n+1>n⇒n+2+n+1>n+1+n
⇒1√n+2+√n+1<1√n+1+√n⇒un+1−un<0⇒1n+2+n+1<1n+1+n⇒un+1−un<0
⇒ un là dãy số giảm (1)
Mặt khác:
un=1√n+1+√n>0,∀n∈N∗un=1n+1+n>0,∀n∈N∗
Suy ra: un là dãy số bị chặn dưới (2)
Ta lại có: với n ≥ 1 thì √n+1+√n≥√2+1n+1+n≥2+1
Nên un=1√n+1+√n≤1√2+1un=1n+1+n≤12+1
Suy ra: un là dãy số bị chặn trên (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: un là dãy số giảm và bị chặn
a)
Xét hiệu
\(u_{n+1}-u_n=\left(n+1+\dfrac{1}{n+1}\right)-\left(n+\dfrac{1}{n}\right)\)\(=1+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{n^2+n-1}{n\left(n+1\right)}>0\) (Với mọi \(n\in N^{\circledast}\) ).
Suy ra: \(u_{n+1}>u_n\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
Mặt khác: \(u_n\ge2\sqrt{n.\dfrac{1}{n}}=2\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số bị chặn dưới bởi 2.
Mặt khác n càng tăng thì \(u_n\) càng lớn theo giá trị của \(n\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số không bị chặn trên.
b) \(u_1=\left(-1\right)^{1-1}.sin1=sin1>0\).
\(u_2=\left(-1\right)^{2-1}sin\dfrac{1}{2}=-sin\dfrac{1}{2}< 0\).
\(u_3=\left(-1\right)^{3-1}.sin\dfrac{1}{3}=sin\dfrac{1}{3}>0\).
Ta thấy \(u_1>u_2\) và \(u_2< u_3\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số không tăng và không giảm.
\(\left|u_n\right|=\left|\left(-1\right)^{n-1}sin\dfrac{1}{n}\right|\le\left|\left(-1\right)^{n-1}\right|=1\).
Suy ra: \(-1\le u_n\le1\) nên \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên bởi \(1\) và chặn dưới bởi \(-1\).
c)
\(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)\(=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
Xét hiệu:
\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n}-\sqrt{n+2}}{\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(=\dfrac{-2}{\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+2}\right)}< 0\)
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số giảm.
\(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>0\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số bị chặn dưới bởi 0.
\(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{0}}=1\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số bị chặn trên bởi 1.