Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

a. Xét ΔAMC và ΔBMD, ta có:

BM = MC (gt)

∠(AMB) = ∠(BMC) (đối đỉnh)

AM = MD (gt)

Suy ra: ΔAMC = ΔDMB (c.g.c)

⇒ ∠(MAC) = ∠D (2 góc tương ứng)

Suy ra: AC // BD

(vì có 2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Mà AB ⊥ AC (gt) nên AB ⊥ BD.

Vậy (ABD) = 90^o

b. Xét ΔABC và ΔBAD ta có:

AB cạnh chung

∠(BAC) = ∠(ABD) = 90^o

AC = BD (vì ΔAMC = ΔDMB)

Suy ra: ΔABC = ΔBAD (c.g.c)

c. Ta có: ΔABC = ΔBAD ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng)

Mặt khác: AM = 1/2 AD

Vậy AM = 1/2 BC.

Xét ΔACD có

CB là đường trung tuyến

CE=2/3CB

Do đó: E là trọng tâm của ΔACD

=>AE là đường trung tuyến ứng với cạnh DC

=>K là trung điểm của CD

Hướng dẫn:

a) So sánh các cạnh của ∆BGG’ với các đường trung tuyến của ∆ABC BG cắt AC tại N

CG cắt AB tại E

G là trọng tâm của ∆ABC

=> GA = AM

Mà GA = GG’ ( G là trung điểm của AG ‘)

GG’ = AM

Vì G là trọng tâm của ∆ABC => GB = BN

Mặt khác : GM = AG ( G là trọng tâm )

AG = GG’ (gt)

GM = GG’

M là trung điểm GG’

Do đó ∆GMC = ∆G’MB vì :

GM = MG’

MB = MC

=> BG' = CG

mà CG = CE (G là trọng tâm ∆ABC)

=> BG' = CE

Vậy mỗi cạnh của ∆BGG' bằng đường trung tuyến của ∆ABC

b) So sánh các đường trung tuyến của ∆BGG' với cạnh ∆ABC

ta có: BM là đường trung tuyến ∆BGG'

mà M là trung điểm của BC nên BM = BC

Vì IG = BG (I là trung điểm BG)

GN = BG ( G là trọng tâm)

=> IG = GN

Do đó ∆IGG' = ∆NGA (cgc) => IG' = AN => IG' =

- Gọi K là trung điểm BG => GK là trung tuyến ∆BGG'

Vì GE = GC (G là trọng tâm ∆ABC)

=> GE = BG

mà K là trung điểm BG' => KG' = EG

Vì ∆GMC = ∆G'BM (chứng minh trên)

=> (lại góc sole trong)

=> CE // BG' => (đồng vị)

Do đó ∆AGE = ∆GG'K (cgc) => AE = GK

mà AE = AB nên GK = AB

Vậy mỗi đường trung tuyến ∆BGG' bằng một nửa cạnh của tam giác ABC song song với nó

D

Giả sử ∆ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta chứng minh BM = CN

Vì ∆ ABC cân tại A=> AB = AC mà M, N là trung điểm AC, AB nên CM = BN

Do đó ∆CMB ;∆BNC có:

BC chung

CM = BN (cm trên)

AB = AC (∆ABC cân)

=> BM = CN

Gọi Δ ABC có trung tuyến BM = CN, G là trọng tâm Δ (giao điểm các trung tuyến)
Ta có :
GB = 2/3.BM
GC = 2/3.CN
Mà BM = CN => GB = GC
=> Δ BGC cân tại G
=> ∠ MBC = ∠ NCB
Xét Δ BMC và Δ CNB :
BM = CN
∠ MBC = ∠ NCB
BC là cạnh chung
=> Δ BMC = Δ CNB (c - g - c)
=> ∠ MCB = ∠ NBC
hay ∠ ACB = ∠ ABC
=> Δ ABC cân tại A (đpcm)

G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH. Khẳng định đúng là:

$\frac{GH}{DH}=\frac{1}{3}$ vì $\frac{GH}{DG}=\frac{2}{3}$

nên $\frac{DH-GH}{DH}=\frac{3-2}{3}$

Tức là: $\frac{GH}{DH}=\frac{1}{3}$

∆ABC vuông tại A => BC² = AB² + AC²

BC² = 3² + 4²

BC² = 25

BC = 5

Gọi M là trung điểm của BC => AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên AM = $\frac{1}{2}$ BC

Vì G là trọng tâm của ∆ ABC nên AG =$\frac{2}{3}$ AM => AG =$\frac{2}{3}$.$\frac{1}{2}$ BC

=> AG = $\frac{1}{3}$ BC = $\frac{1}{3}$ .5 = 1.7cm

ướng dẫn:

Gọi M, N, E là giao điểm của AG, BG, CG với BC, CA, AB.

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên

GA = AM; GB = BN; GC = CE (1)

Vì ∆ABC đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau

=> AM = BN = CE (2)

Từ (1), (2) => GA = GB = GC

a) DE // AB, DE = \(\dfrac{1}{2}\)AB, IK // AB, IK = \(\dfrac{1}{2}\)AB

=> DE//IK và DE = IK

b) Xét tg GDE và tg GIK có:

DE = IK (cmt)

GDE = GIK (slt)

GED = GKI (slt)

=> tg GDE = tg GIK (g.c.g)

=> GD = GI ( c.t.ứ)

Có GD = GI = IA nên AG = \(\dfrac{2}{3}\)AD