Bài 3: Lôgarit

a) \(log_3\dfrac{6}{5}>log_3\dfrac{5}{6}\) vì \(\dfrac{6}{5}>\dfrac{5}{6}\)

b) \(log_{\dfrac{1}{3}}9>log_{\dfrac{1}{3}}17\) vì \(9>17\) và \(0< \dfrac{1}{3}< 1\).

c) \(log_{\dfrac{1}{2}}e>log_{\dfrac{1}{2}}\pi\) vì \(e>\pi\) và \(0< \dfrac{1}{2}< 1\)

d) \(log_2\dfrac{\sqrt{5}}{2}>log_2\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)  vì \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

a) Áp dụng công thức: \(\log_ab.\log_bc=\log_ac\)

b) Vì \(\dfrac{1}{\log_{a^k}b}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{k}\log_ab}=\dfrac{k}{\log_ab}\) nên biểu thức vế trái bằng:

\(VT=\dfrac{1}{\log_ab}\left(1+2+...+n\right)\)

\(=\dfrac{1}{\log_ab}.\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=VP\)

a) Ta có 1350 = 30.3² . 5 suy ra

log₃₀1350 = log₃₀(30. 3². 5) = 1 + 2log₃₀3 + log₃₀5 = 1 + 2a + b.

b) log₂₅15 = = = = = .

a) Bằng máy tính cầm tay ta tính được

log₃5 ≈ 1,464973521; log₇4 ≈ 0,7124143742,

điều này gợi ý ta tìm cách chứng minh log₃5 > 1 > log₇4.

Thật vậy, sử dụng tính chất của lôgarit và tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số ta có = 5 > 3 = 3¹ log₃5 > 1.

Tương tự 7¹= 7> 4 = 1> log₇4. Từ đó log₃5 > log₇4.

b) Ta có = 2 >1 =(o,3)⁰ log_0,32 < 0

và = 3 > 1 =5⁰ log₅3 > 0.

Từ đó log_0,32 < log₅3.

c) = 10 > 2³ log₂10 > 3 và = 30 < 5³ log₅30 < 3, do đó log₂10 > log₅30.

a) \(4^{log^3_2}=\left(2^2\right)^{log^3_2}=\left(2^{log^3_2}\right)^2=3^2=9\).
b) \(27^{log^2_9}=\left(3^3\right)^{log^2_{3^2}}=3^{3.\dfrac{1}{2}.log^2_3}=\left(3^{log^2_3}\right)^{\dfrac{3}{2}}=2^{\dfrac{3}{2}}=\sqrt{8}\).
c) \(9^{log^2_{\sqrt{3}}}=9^{log^2_{9^{\dfrac{1}{4}}}}=9^{4.log^2_9}=\left(9^{log^2_9}\right)^4=2^4=16\).
d) \(4^{log^{27}_8}=2^{2.log^{27}_{2^3}}=2^{\dfrac{2}{3}.log^{27}_2}=\left(2^{log^{3^3}_2}\right)^{\dfrac{2}{3}}=\left(3^3\right)^{\dfrac{2}{3}}=3^2=9\).

a) = = -3.

b) = = .

hoặc dùng công thức đổi cơ số : = = = .

c) = = .

d) = = 3.

a) Từ công thức đổi cơ số suy ra ∀a,b,c > 0 (a,b ≠ 1), log_ab. log_bc = log_ac.

Do đó log₃6. log₈9. log₆2 = ( log₃6. Log₆2). = log₃2. log₂3 = .

b) log_ab²+ = log_ab² + log_ab² =2log_ab² = 4 log_a|b|.