\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)

                                             \(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)

Dấu "=" <=> x= y = 1/2

\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)

                                                                                                  \(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" <=> x = 3y

bài 3 min hay max ?

2. Xem tại đây

1.  \(P=\frac{1}{\sqrt{x.1}}+\frac{1}{\sqrt{y.1}}+\frac{1}{\sqrt{z.1}}\)

\(\ge\frac{1}{\frac{x+1}{2}}+\frac{1}{\frac{y+1}{2}}+\frac{1}{\frac{z+1}{2}}\)

\(=\frac{2}{x+1}+\frac{2}{y+1}+\frac{2}{z+1}\ge\frac{2.\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{18}{3+3}=3\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

1 ) có cách theo cosi đó 

áp dụng cosi cho 3 số dương ta có \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{x}}\times\frac{1}{\sqrt{x}}\times x}=3\sqrt[3]{1}=3\)(1)

\(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+y\ge3\)(2)

\(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}}+z\ge3\)(3)

cộng các vế của (1),(2),(3), đc \(2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)+\left(x+y+z\right)\ge9\Rightarrow2P+3\ge9\Rightarrow P\ge3\)

minP=3 khi x=y=z=1

2, rút gọn B=x^2/(y-1)+y^2/(x-1) 

AM-GM : x^2/(y-1)+4(y-1) >/ 4x ; y^2/(x-1)+4(x-1) >/ 4y 

=> B >/ 4x-4(y-1)+4y-4(x-1)=4x-4y+4+4y-4x+4=8 

minB=8 

Câu 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x+1\ge2\sqrt{x}\)

\(\Rightarrow x+1+x+1\ge x+2\sqrt{x}+1\)

\(\Rightarrow2x+2\ge\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(1\right)\)

Tương tự cũng có: \(2y+2\ge\left(\sqrt{y}+1\right)^2\left(2\right)\)

Nhân theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right)\) ta có:

\(\left(2x+2\right)\left(2y+2\right)\ge\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{y}+1\right)^2\ge16\)

\(\Rightarrow4\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge16\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge4\)

Lại áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(x+1\right)+\left(y+1\right)\ge2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge4\)

\(\Rightarrow x+y\ge2\). Giờ thì áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=1\)

x,y có dương đâu mà AM-GM rồi schwarz hay vậy Thắng ? 

https://olm.vn/hoi-dap/detail/258469425824.html . Bạn tham khảo link này

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm ta có : 

\(A=\frac{a}{16}+\frac{1}{a}+\frac{15a}{16}\ge2\sqrt[2]{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}+\frac{60}{16}=\frac{17}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=4\)

Vậy \(Min_A=\frac{17}{4}\)khi \(a=4\)

Ta có : \(B=\frac{3x^4}{x^3}+\frac{16}{x^3}=3x+\frac{16}{x^3}=x+x+x+\frac{16}{x^3}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 4 số không âm ta có : 

\(x+x+x+\frac{16}{x^3}\ge4\sqrt[4]{x.x.x.\frac{16}{x^3}}=4\sqrt[4]{16}=8\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=2\)

Vậy \(Min_B=8\)khi \(x=2\)

Áp dụng BĐT cosi:

\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge4x\)

\(\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge4y\)

Cộng 2 BĐT trên 

=> \(P\ge8\)

vậy MinP=8 khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y-1}=4\left(y-1\right)\\\frac{y^2}{x-1}=4\left(x-1\right)\end{cases}}\)=> \(x=y=2\)

Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy

Các bạn ơi giúp mình với ạ, cảm ơn nhiều!

dong y quan diem @aliba

bo xung them. nhieu qua khi tra loi phan cau hoi troi len khoi man hinh =>" ko nhin duoc de bai"

(da khong biet lai con luoi dang cau hoi nua)