\(2^m-2^n=256\Leftrightarrow2^m-2^n=2^8\)

\(\Leftrightarrow2^n\left(2^{m-n}-1\right)=2^8\)

+ TH1 : m-n=1 ta có : \(2^n.1=2^8\Rightarrow n=8\)

+TH2 : \(m-n\ge2\)

Ta có 2^m-n - 1 là số lẻ lớn hơn 1 mà 2⁸ khi phân tích ra thừa số nguyên tố không có thừa số lẻ lớn hớn 1. Do đó TH2 loại 

Vậy m= 9 và n =8 

P/s : đoạn phân tích ko hiểu inbox hỏi mình :)

Cảm ơn bạn nhiều!

2^m + 2ⁿ = 2^m+n

=> 2^m = 2^m+n - 2ⁿ = 2ⁿ.(2^m - 1)

Dễ thấy m \(\ne0\Rightarrow2^m⋮2\)

Mà 2^m - 1 chia 2 dư 1 nên \(\begin{cases}2^m=2^n\\2^m-1=1\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}m=n\\2^m=2=2^1\end{cases}\)=> m = n = 1

Vậy m = n = 1

2^m - 2ⁿ = 256

=> 2ⁿ.(2^m-n - 1) = 2⁸

Dễ thấy: \(2^{m-n}-1\ne0\Rightarrow2^{m-n}\ne1\) => m - n \(\ne0\)

\(\Rightarrow2^{m-n}⋮2\)

=> 2^m-n - 1 chia 2 dư 1

=> \(\begin{cases}2^n=2^8\\2^{m-n}-1=1\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}n=8\\2^{m-n}=2=2^1\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}n=8\\m-n=1\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}n=8\\m=9\end{cases}\)

Vậy n = 8; m = 9

a)256<2ⁿ<1024

2⁸<2ⁿ<2¹⁰

=>8<n<10

=>n=9

a) 27. 3ⁿ=243. 3ⁿ

                =243:27

            =9. có 3ⁿ

                =9=3².  

            =>3ⁿ=3². => n=2. 

a,256<2ⁿ<1024

2⁸<2ⁿ<2¹⁰

8<n<10

\(\Rightarrow n=9\)

Vậy n=9

b,27<3ⁿ<243

3³<3ⁿ<3⁵

3<n<5

\(\Rightarrow n=4\)

Vậy n=4

c,16<4ⁿ<256

4²<4ⁿ<4⁴

2<n<4

\(\Rightarrow n=3\)

Vậy n=3

d,125<5ⁿ<3125

5³<5ⁿ<5⁵

3<n<5

\(\Rightarrow n=4\)

Vậy n=4

\(n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2=\left(n+5\right)^2\)

\(\Leftrightarrow n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=n^2+10n+25\)

\(\Leftrightarrow2n^2-4n-20=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(n^2-2n-10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow n^2-2n-10=0\)

\(\Leftrightarrow n^2-2n+1-11=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)^2-11=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1-\sqrt{11}\right)\left(n-1+\sqrt{11}=0\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n-1-\sqrt{11}=0\\n-1+\sqrt{11}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=\sqrt{11}+1\\n=-\sqrt{11}+1\end{cases}}\)

Vậy: \(S=\left\{\sqrt{11}+1;-\sqrt{11}+1\right\}\)

n = 2 ok

\(a,25< 5^n< 625\Leftrightarrow5^2< 5^n< 5^4\Leftrightarrow2< n< 4\Leftrightarrow n=3\)

Vậy số cần điền là 3

\(b,256>2^n>8^2\Leftrightarrow2^8>2^n>8^2\)

\(\Leftrightarrow2^8>2^n>\left[2^3\right]^2\)

\(\Leftrightarrow2^8>2^n>2^6\Leftrightarrow8>n>6\Leftrightarrow n=7\)

c, \(3^{12}>n^4>5^8\)

\(\Leftrightarrow\left[3^3\right]^4>n^4>\left[5^2\right]^4\)

\(\Leftrightarrow27^4>n^4>25^4\Leftrightarrow27>n>25\Leftrightarrow n=26\)