Xét\(12n+1=12n+24-23=12\left(n+2\right)-23\)

\(\Rightarrow\frac{12n+1}{2n\left(n+2\right)}=\frac{12\left(n+2\right)-23}{2n\left(n+2\right)}=\frac{12\left(n+2\right)}{2n\left(n+2\right)}-\frac{23}{2n\left(n+2\right)}=\frac{6}{n}-\frac{23}{2n\left(n+2\right)}\)

Xét\(\frac{23}{2n\left(n+2\right)}\)ta có:

\(2n\left(n+2\right)⋮2\)

=> \(2n\left(n+2\right)\)là số chẵn

mà 23 là số lẻ

\(\Rightarrow\frac{23}{2n\left(n+2\right)}\)Tối giản

\(\Rightarrow\frac{6}{n}-\frac{23}{2n\left(n+2\right)}\)tối giản

Vậy \(\frac{12n+1}{2n\left(n+2\right)}\)Tối giản (ĐPCM)

gọi \(\text{Ư}CLN_{\left(5n+3;3n+2\right)}=d\left(d\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5n+3⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(5n+3\right)⋮d\\5\left(3n+2\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}15n+9⋮d\\15n+10⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow15n+10-\left(15n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow15n+10-15n-9⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

vậy phân số \(\frac{5n+3}{3n+2}\) là phân số tối giản với mọi \(n\inℕ\)

gọi d là ƯC(5n+3; 3n+2)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5n+3⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(5n+3\right)⋮d\\5\left(3n+2\right)⋮d\end{cases}}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n+9⋮d\\15n+10⋮d\end{cases}}\)

=> (15n + 10) - (15n + 9) \(⋮\) d

=> 15n + 10 - 15n - 9 \(⋮\) d

=> (15n - 15n) + (10 - 9) \(⋮\) d

=> 1 \(⋮\) d

=> d = 1

=> \(A\) là phân số tối giản với mọi n thuộc N

\(\frac{5n+3}{3n+2}\)là phân số tối giản => UCLN(5n+3;3n+2)=1

Gọi d là UCLN(5n+3;3n+2)

\(\Rightarrow5n+3⋮d\Rightarrow3\left(5n+3\right)⋮d\Rightarrow15n+9⋮d\)

\(\Rightarrow3n+2⋮d\Rightarrow5\left(3n+2\right)⋮d\Rightarrow15+10⋮d\)

\(\Rightarrow15n+10-15n+9⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Suy ra A là phân số tối giản.

bài này dễ mà

n - 5 = 3 {n-5} = 3n-15

suy ra : 3n-15 : 3n-14 = -1 mà Ước của 1 phân số là 1 với -1 thế nên phân số đó là phân số tối giản

Gọi ước chung của \(n-5;3n-14\)là d\(\left(d\inℕ^∗\right)\).

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n-5⋮d\\3n-14⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n-15⋮d\\3n-14⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(3n-15\right)-\left(3n-14\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\frac{n-5}{3n-14}\)là phân số tối giản