\(P=\frac{xy}{x+y+2}=\frac{\left(x+y\right)^2-\left(x^2+y^2\right)}{2\left(x+y+2\right)}=\frac{\left(x+y\right)^2-4}{2\left(x+y+2\right)}\)

\(=\frac{\left(x+y+2\right)\left(x+y-2\right)}{2\left(x+y+2\right)}=\frac{x+y-2}{2}\)

mặt khác ta có :

\(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=\sqrt{2\cdot4}=2\sqrt{2}\)

\(P\le\frac{2\sqrt{2}-2}{2}=\sqrt{2}-1\)

dấu băng xảy ra khi \(x=y=\sqrt{2}\)

\(2x^2+y^2-2y=2\left(xy-1\right)\)

\(2x^2+y^2-2y=2xy-2\)

\(2x^2+y^2-2y-2xy+2=0\)

đc đến đây :v 

mình biết làm nhưng dài quá bạn tra trên google là đc

\(Q=2x^2+\frac{2}{x^2}+3y^2+\frac{3}{y^2}+\frac{4}{x^2}+\frac{5}{y^2}\)

Áp dụng cô si ,ta có

\(2x^2+\frac{2}{x^2}\ge2\sqrt{2x^2\cdot\frac{2}{x^2}}=4\)

\(3y^2+\frac{3}{y^2}\ge2\sqrt{3y^2\cdot\frac{3}{y^2}}=6\)

\(\Rightarrow Q\ge4+6+9=19\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

x^2+y^2=16+xy=>2x^2+2y^2=32+2xy

=>x^2+y^2=32+2xy-x^2-y^2=32-(x^2-2xy+y^2)=32-(x-y)^2 </ 32 với mọi x,y

maxP=32