vì n và n+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp

=) n + n+1 chia hết cho 2        (1)

vì n, n+1 và n+2 là 3 stn liên tiếp 

=) n+n+1+n+2 chia hết cho 3     (2)

Từ (1) và (2) =) n+n+1+n+2 chia hết cho 6

hay BCNN của n+n+1+n+2 là 6

vậy ....

giúp mk đi, mk gấp lắm

1-7=6

haha

C)gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là a, a+1 ,a+2

ta có: 

a+(a+1)+(a+2)

=3a+3

=3(a+1) => chia hết cho 3 

d) Gọi 5 số nguyên liên tiếp ần lượt là a, a+1, a+2, a+3, a+4 

Ta có: a + a+1 + a+2 +a+3 +a+4

         =5a +10

        =5(a+2) => chi hết cho 5

\(2.\)  Tính chất: Trong  \(n\)  số nguyên liên tiếp có một  và chỉ một số chia hết cho  \(n\)

Giả sử \(n,\)  \(n+1,...,\)  \(n+1899\)  là dãy \(1900\) số tự nhiên liên tiếp \(\left(1\right)\)

Xét  \(1000\) số tự nhiên liên tiếp từ  \(n,\)  \(n+1,...,\)  \(n+999\)  \(\left(2\right)\)  thuộc dãy số  \(\left(1\right)\)

Theo tính chất trên, sẽ có một số chia hết cho  \(1000\)

Giả sử số đó là  \(n_0\), khi đó \(n_0\) có tận cùng là  \(3\) chữ số \(0\) và  \(m\)  là tổng các chữ số của \(n_0\)

Khi đó, ta xét  \(27\)  số tự nhiên gồm:

\(n_0,\)  \(n_0+9,\)  \(n_0+19,\)  \(n_0+29,\)  \(n_0+39,...,\)  \(n_0+99,\)  \(n_0+199,...,\)  \(n_0+899\)  \(\left(3\right)\)

Sẽ có tổng các chữ số gồm  \(27\)  số tự nhiên liên tiếp là  \(m,\)  \(m+1,\)  \(m+2,...,\)  \(m+26\)

Do đó,  có  \(1\)  số chia hết cho  \(27\)

Vậy,  trong  \(1900\)  số tự nhiên liên tiếp có  \(1\)  số có tổng các chữ số chia hết cho \(27\)

1)Gọi ƯCLN(2n+1;6n+5)=d

Ta có: 2n+1 chia hết cho d; 6n+5 chia hết cho d

=>3(2n+1) chia hết cho d; 6n+5 chia hết cho d

=>6n+3 chia hết cho d; 6n+5 chia hết cho d

mà 3;5 là 2 số nguyên tố cùng nhau

nên 6n+3 và 6n+5 là 2 số nguyên tố cùng nhau

hay 2n+1 và 6n+5 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=>đpcm

a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\)với m là 1 số nguyên dương

Biến đổi phương trình ta có : 

\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\)nên dẫn đến :

TH1 : \(2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)

TH2 : \(2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)

TH1 :

\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)

\(\Rightarrow v^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )

Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\)là số chính phương

b) Ta có : 

\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)

\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)

- Xét 2 trường hợp :

TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=q^2\end{cases}}\)

TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)

+) TH1 :

Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2\equiv2\left(mod3\right)\)( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )

+) TH2 :

Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\)( đpcm )